Вопросы и задачи

2.1. Ассоциативна ли операция ⨀ на множестве М, если:

а) M = ℕ, x⨀y = 2xy

б) M = ℤ, x⨀y = x² + y²

в) М = ℝ, x⨀y = sinx siny;

г)М = ℝ\{0}, x⨀y = xy^x/|x|

д) M = ℝ, x⨀y = x-y?

2.2. Пусть S — полугруппа матриц вида , где x, у ∈ ℝ, с операцией умножения. Существуют ли в ней левые или правые нейтральные элементы?

2.3. На множестве М определена бинарная операция о по правилу х ॰ у = х. Доказать, что (М, ॰) — полугруппа. Что можно сказать о нейтральных элементах этой полугруппы? В каких случаях она является группой?

2.4. Пусть М — произвольное множество. На множестве M² определена операция ॰ по правилу (x, у) ॰ (z, t) = (x, t). Является ли алгебра (M², ॰) полугруппой? Существует ли в ней нейтральный элемент?

2.5. Привести пример полугруппы с левой единицей (нейтральным элементом), не являющейся моноидом.

2.6. Какие из указанных множеств квадратных действительных матриц одного порядка образуют группу:

а) множество невырожденных матриц относительно умножения;

б) множество невырожденных матриц относительно сложения;

в) множество диагональных матриц относительно сложения;

г) множество диагональных матриц относительно умножения?

2.7. Доказать, что если в группе g для любого х ∈ G выполняется тождество х² = 1, то группа g коммутативна.

2.8. В группе S₄ решить уравнения:

2.9. Является ли полем множество чисел вида х + √2у, где x, y ∈ ℚ , с обычными операциями сложения и умножения?

2.10. Доказать, что множество всех верхних треугольных матриц фиксированного порядка n является подкольцом кольца всех квадратных матриц порядка n. Верно ли это утверждение для диагональных и нижних треугольных матриц?

2.11. Построить пример кольца с одним элементом, т.е. такого, в котором 0 = 1.

2.12. Кольцо R = (R, +, ⋅, 0, 1) называется булевым, если его умножение идемпотентно, т.е. х ⋅ х = х для любых х ∈ R. Доказать, что:

а) для любого элемента х булева кольца имеет место равенство х + х = 0, т.е. -х = x;

б) любое булево кольцо коммутативно;

в) в любом булевом кольце, имеющем более двух элементов (|R| > 2), существуют делители нуля.

2.13. Доказать, что (2^M, Δ, ∩, ∅, М) — булево кольцо (см. задачу 2.12). Доказать, что оно изоморфно ℤ₂ при |М| = 1.

2.14. Показать, что множество остатков от деления много- многочленов от переменной х на х² + х + 1 с операциями сложения и умножения многочленов является кольцом. Является ли это кольцо полем?

2.15. Элемент х кольца называют обратимым, если существует элемент х' такой, что х ⋅ х' = х' ⋅ х = 1. Элемент х кольца называют обратимым слева (справа), если существует x', такой, что х' ⋅ х = 1 (х ⋅ х' = 1). Элемент кольца называется односторонне обратимым, если он обратим слева или справа.

Элемент х ≠ 0 кольца называется левым (правым) делителем нуля, если существует ненулевой элемент кольца у, такой, что х ⋅ у = 0 (у ⋅ х = 0); элемент, являющийся левым и правым делителем нуля одновременно, называется делителем нуля.

Доказать, что:

а) элемент конечного кольца обратим (слева, справа) тогда и только тогда, когда он не является делителем нуля (правым, левым);

б) в конечном кольце и в кольце без делителей нуля любой односторонне обратимый элемент обратим;

в) элемент кольца вычетов по модулю к обратим тогда и только тогда, когда он взаимно прост с к.

2.16. Пусть R — кольцо. Доказать, что:

а) если произведения ху и ух обратимы, то элементы х ту тоже обратимы;

б) если в R нет делителей нуля и произведение ху обратимо, тожиу обратимы;

в) если R конечно и произведение ху обратимо, то х и у обратимы.

У к а з а н и е: использовать результаты задачи 2.15.

2.17. Доказать, что множество всех обратимых элементов кольца (см. задачу 2.15) образуют группу по умножению.

2.18. Решить систему уравнений

а) в поле ℤ₃; б) в поле ℤ₅.

2.19. Выяснить, разрешима ли в кольце ℤ₂₁ система уравнений

2.20. Введем группу S „движений" (поворотов) окружности как группу, элементами которой являются всевозможные повороты, измеряемые в радианах, причем поворот на любой угол, кратный 2π, отождествляется с нулевым поворотом (тождественным отображением множества точек окружности в себя).

Доказать, что группа S изоморфна фактор-группе ℝ / ℤ, которая, в свою очередь, изоморфна аддитивной группе S¹ действительных чисел по модулю 1.

2.21. Пусть М = (G, +, 0, {ω_α: α ∈ R}) —левый модуль над кольцом R= (R, +, ⋅, 0, 1). Является ли соответствие между элементами а кольца И и отображениями ша взаимно однозначным? В частности, всегда ли нулевое отображение определяется только нулем кольца R?

У к а з а н и е: рассмотреть левый модуль матриц-столбцов вида (х 0)^T , х ∈ R, над кольцом верхнетреугольных матриц второго порядка и показать, что ответы на поставленные вопросы отрицательны.