Квантерионы

Примером тела, не являющегося полем, может служить алгебра кватернионов ("четырехмерных чисел").

Сначала напомним, как строится алгебра комплексных чи- чисел. Комплексное число определяется как упорядоченная пара действительных чисел, причем сложение пар вводится поком- покомпонентно:

(а, b) + (с, d) = (a + c, b + d),

а умножение — согласно формуле

(а, b) ⋅ (с, d) = {ac-bd, ad + bc).    (2.3)

Заметим, что покомпонентное определение умножения не дало бы требуемых свойств этой операции (таких же, как у умножения действительных чисел), поскольку при покомпонентном умножении имеются делители нуля:

(а, 0) ⋅ (0, b)= (а ⋅ 0, 0 ⋅ b) = (0,0)

При стандартном определении умножения согласно (2.3) можно доказать, что алгебра комплексных чисел является полем.

Кватернионы определяются как упорядоченные пары комплексных чисел. Сложение кватернионов вводится снова как покомпонентное, а умножение — следующим образом:

(а, b) ⋅ (с, d) = (ас-bd, ad + bc),

где x — число, комплексно сопряженное с х.

Можно показать, что каждый кватернион однозначно представляется в виде α = x+iy+jz+kh, где х, у, z, h — действительные числа, а i, j и k — кватернионы, называемые мнимыми единицами. Правила умножения мнимых единиц вместе с обычной единицей задаются табл. 2.3.

Можно заметить, что умножение попарно различных мнимых единиц совершается по тем же правилам, что и векторное умножение ортов i, j, к в векторной алгебре [III].

Сопряженный с α = x + iy + jz + kh кватернион, по определению, равен α = х - iу - jz - kh. Имеют место следующие тождества:

αβ = α β ,

(α + β) = α + β,

αα = αα =α² +b² + c² + d².

Действительное число αα, обозначаемое т(α), называется нормой кватерниона α.

Построенная таким образом алгебра кватернионов обладает следующими свойствами:

1. Умножение кватернионов ассоциативно, но не коммутативно.

Это свойство непосредственно выводится из табл. 2.3. Например, пусть α=0 + i1 + j0 + k0, а β=0 + i0 + j1 + k0. Тогда

2. В алгебре кватернионов нет делителей нуля.

Действительно, n(α) = 0 тогда и только тогда, когда α = 0, т.е. нулевому кватерниону 0 + i0 + j0 + k0, и можно показать, что n(αβ) = n(α) n(β).

Тогда, если α ≠ 0, то

α ⋅ ((1/n (α)) ⋅ α) = ((1/n (α)) ⋅ α) ⋅ α = 1

Таким образом, по умножению все ненулевые кватернионы образуют группу и алгебра кватернионов оказывается телом, не будучи полем.

Из кватернионов можно также строить упорядоченные пары, вводя операции сложения и умножения как описано выше, а операцию сопряжения согласно формуле ab = (а, -b) (а и b - кватернионы). Полученная таким образом алгебра называется алгеброй Кэли, а ее элементы — числами Кэли или октавами. Умножение в алгебре Кэли уже не будет даже ассоциативным, однако ассоциативный закон имеет место в частном случае — для любых двух чисел Кэли α и β:

(αα)β = α(αβ),

α(ββ) = (αβ)β,

α(βα) = (αβ)α.

Кроме того, каждое ненулевое число Кэли имеет обратное. Другими словами, в алгебре Кэли любое уравнение αх = β (или хα = β) имеет единственное решение. Таким образом, алгебра Кэли также является алгеброй без делителей нуля. Можно доказать, что, кроме алгебры комплексных чисел, алгебры кватернионов и алгебры Кэли, не существует „многомерных" числовых алгебр без делителей нуля.