Области целостности

Областью целостности называют коммутативное кольцо без делителей нуля. Так, кольцо целых чисел есть область целостности.

Теорема 2.9. Конечная область целостности является полем.

◀ Поле — это кольцо, умножение которого коммутативно, а каждый ненулевой элемент а имеет обратный элемент относительно умножения. Так как область целостности, по определению, является коммутативным кольцом, то достаточно доказать, что для конечной области целостности любой ненулевой элемент обратим, т.е. для всякого а ≠0 существует единственный x, такой, что а ⋅ х = 1.

Фиксируем произвольный элемент а ≠ 0 определяем отображение f_a множества всех ненулевых элементов в себя по формуле f_a(x)=a ⋅ x ≠ 0 в области целостности при а≠0 и х ≠ 0). Отображение f_a является инъекцией, поскольку из равенства а ⋅ х = а ⋅ у вытекает равенство а ⋅(x-y) = 0, откуда ввиду отсутствия делитеей нуля x-y = 0 и x=y. Так как носитель по условию теоремы конечен, то, согласно теореме 1.8, f_a также и биекция. Поэтому для любого у существует единственный элемент x, такой, что у = а ⋅х. В частности, при у = 1 равенство а ⋅ х = 1 выполнено для некоторого однозначно определенного х, т.е. х = а^-1▶

Доказательство теоремы 2.9 опирается на условие конечности кольца. Это условие действительно важно. Пример кольца целых чисел показывает, что бесконечная область целостности может и не быть полем.

Теорема 2.9 имеет интересные следствия. Рассмотрим кольцо ℤ_p вычетов по модулю р.

Следствие 2.2. Кольцо ℤ_p вычетов по модулю р является полем тогда и только тогда, когда р — простое число.

Пусть ℤ_p является полем. Покажем, что в этом случае число р простое. Предположим, что оно составное. Тогда найдутся такие числа k и l, 0 < k,l ≤ p-1, чтоp=k ⋅ l Поскольку в этом случае k и l = 0 (mod p), по крайней мере числа k и l являются в кольце ℤ_p делителями нуля и ℤ_p — не поле. Следовательно, число р не может быть составным.

Пусть р — простое число. Предположим, что элементы m и n кольца ℤ_p будут делителями нуля, т.е. m ⋅ n = 0(modp). При простом р равенство произведения m ⋅ n нулю по модулю р означает, что либо m делится на р, либо n делится на р, т.е. либо m = 0(modp), либо n = 0(modp). Учитывая неравенства 0≤m≤p и 0≤n≤p-1, заключаем, что либо m = 0, либо n = 0. Таким образом, при простом р делителей нуля нет и кольцо ℤ_p, как конечная область целостности, является полем. ▶

Мультипликативную группу поля ℤ_p вычетов по модулю р обозначают Z^*p и называют мультипликативной группой вычетов по модулю р.

Для произвольного р легко видеть, что ненулевые элементы m и n кольца ℤ_p будут делителями нуля тогда и только тогда, когда произведение m⋅n делится на р (т.е. m⋅n = 0(modp)). Например, в кольце Z₁₂ делителями нуля будут элементы 2 и 6, 3 и 4, 3 и 8, 4 и 6, 4 и 9, 6 и 6, 6 и 8, 6 и 10, 8 и 9.

Замечание 2.3. Следствие 2.2 допускает интерпретацию с точки зрения теории чисел: каково бы ни было простое число р, для всякого ненулевого m < р найдется единственное ненулевое n < р, такое, что mn = 1 (modp). Этот результат имеет место именно в силу того, что для каждого элемента поля ℤ_p есть обратный элемент относительно умножения. Это — один из примеров применения общей алгебры к теории чисел.

Пример 2.14. В заключение приведем „таблицу сложения" (табл. 2.1) и „таблицу умножения" (табл. 2.2) для поля ℤ₅

Таблица 2.1; Таблица 2.2

⊕5 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3

⨀5 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1

Таблицы, подобные приведенным выше, которые определяют операции в конечных алгебрах, носят название таблиц Кэли. Из таблиц Кэли для поля вычетов по модулю 5 следует, что в этом поле выполняются слегка шокирующие при первом взгляде равенства: 4 = —1, 2 = З^-1, 4 = 4^-1 и т.п. Но ни о каких „отрицательных" числах и ни о каких „дробях" тут речи нет, поскольку расматриваются другие объекты — остатки при де- делении на 5. Просто равенство 4 = -1 означает, что элемент 1 есть элемент, противоположный 4 в аддитивной группе вы- вычетов по модулю 5: 4 ⊕₅ 1 = 0. Аналогично по в мультипликативной группе вычетов по модулю 5 элемент 3 есть обратный к 2 , так как 3 ⨀₅ 2 = 1, а элемент 4 обратен к себе самому.

Пример 2.15. Рассмотрим пример решения системы линейных алгебраических уравнений в поле ℤ₅. При записи нений будем опускать знак ⨀₅ умножения там, где это не приводит к недоразумениям. Будем решать систему

используя метод Гаусса [III]. Домножив первую строку на 3 и прибавив ее ко второй строке, получим

(3⊕₅ 2) x₁ ⊕₅(3⨀₅ 2⊕₅ 2) x₂ ⊕₅(3⨀₅3⊕₅4) x₃ = 3⊕₅ 3

Воспользовавшись таблицами Кэли, вычислим коэффициенты при переменных. В итоге имеем

0⨀₅x₁⊕₅3x₂⊕₅3x₃ = 1.

Прибавив к третьей строке первую, получим

(1⊕₅4)x₁⊕₅(2⊕₅3)x₂⊕₅(3⊕₅1)x₃ = 1,

откуда 4х₃ = 1.

Система привелась к виду

Из последнего уравнения находим х₃ = 4^-1⨀₅1 = 4⨀₅ 1 = 4. Подставив х₃ = 4 во второе уравнение, будем иметь 3x₂⊕₅3⨀₅ 4 = 1,

т.е. 3x₂ = 1 ⊕₅ (-2) = -1 = 4. Отсюда

x₂ = 3^-1⨀₅4 = 2⨀₅4 = 3

Из первого уравнения после подстановки найденных значений переменных получим

x₁⊕₅2⨀₅3⊕₅3⨀₅4 = 1,

откуда x₁⊕₅1⊕₅2 = 1 и x₁ = -2 = 3.

Таким образом, х₁ = 3, x₂ = 3 и x₃ = 4 — решение системы линейных уравнений. #

Заметим в заключение, что известная из [III] техника решения систем линейных алгебраических уравнений в полях действительных или комплексных чисел может быть без изменения перенесена на любое поле.