Гомоморфизмы групп и нормальные делители

Пусть заданы группы g₁ = (G₁, ⋅, 1) и g₂ = (G₂, ⋅, 1) Отображение f: G₁ → G₂ называют гомоморфизмом группы g₁ в группу g₂ (гомоморфизмом групп), если для любых x, у ∈ G₁ выполняется равенство f(x ⋅ у) = f(x) ⋅ f(у), т.е. образ произведения любых двух элементов группы g₁ при отображении f равен произведению их образов в группе g₂.

Если отображение f сюръективно (биективно), то его называют эпиморфизмом (изоморфизмом) групп. В этом случае говорят также об эпиморфизме (изоморфизме) группы g₁ на группу g₂.

Замечание 2.5. Мы обозначили операции групп g₁ и g₂ одинаково, как это обычно и делается для однотипных алгебр, хотя, конечно, это разные операции разных групп.

Пример 2.21. Пусть g₁ = (ℤ, +, 0) — аддитивная группа целых чисел, а g₂ = ℤ^+k — аддитивная группа вычетов по модулю k.

Зададим отображение f так: для всякого целого m образ f(m) равен остатку от деления m на k. Можно проверить, что для любых целых тип имеет место равенство f(m + n) = = f(m ⊕_kf(n), т.е. для целых чисел остаток от деления суммы на к равен сумме по модулю к остатков от деления на к каждого слагаемого.

Следовательно, данное отображение есть гомоморфизм группы g₁ в группу g₂. Далее, поскольку любое целое число от 0 до k - 1 есть остаток от деления на k какого-то числа, то отображение f является и эпиморфизмом группы g₁ на группу g₁.

Теорема 2.14. Пусть g₁, g₂ — произвольные группы. Если f: g₁ → g₁ — гомоморфизм, то:

1. образом единицы (нейтрального элемента) группы g₁ при отображении f является единица группы g₂, т.е. f(1) = 1;
2. для всякого элемента х группы g₁ образом элемента x^-1 является элемент [f(x)]^-1, обратный элементу f(x), т.е. f(x^-1) = [f(x)]^-1.

◀ Согласно определению гомоморфизма, для произвольного x ∈ g₁ имеем f(х) ⋅ f(1) = f(х ⋅ 1). Далее, f(х ⋅ 1) = f(х), т.е. f(x) ⋅ f(1) = f(x). Следовательно, f(1) = (f(х))^-1 ⋅ f(х) = 1, т.е. f(1) = 1

Докажем второе утверждение теоремы. Используя определение гомоморфизма и уже доказанное первое утверждение теоремы, получаем

f(x^-1) ⋅ f(x) = f(x^-1 ⋅x ) = f(1) = 1, т.е. f(x^-1) = [f(x)]^-1▶

Множество f(G₁) — образ носителя группы g₁ при гомоморфизме f - замкнуто относительно умножения группы g₂. Действительно, если g₂, g₂' ∈ f(g₁), то существуют такие g₁, g₁' ∈ g₁ что f (g₁) = g₂ и f (g₁') = g₂'. Тогда

g₂g₂' = f(g₁)f(g₁') = f(g₁g₁') ∈ f(g₁).

Из теоремы 2.14 следует, что f(g₁) содержит единицу этой группы и вместе с каждым элементом обратный к нему элемент. Это значит, что можно определить подгруппу группы g₂ носителем которой будет множество f(g₁). Эту группу называют гомоморфным образом группы g₁ при гомоморфизме f.

Группу K называют просто гомоморфным образом группы g, если существует гомоморфизм группы g на группу K. Так, группа ℤ^*k при любом k > 1 является гомоморфным образом аддитивной группы целых чисел (см. пример 2.21).

Обратимся к следующему примеру.

Пример 2.22. Рассмотрим мультипликативную группу (С\ {0}, ⋅, 1) комплексных чисел с обычной операцией умноже- умножения комплексных чисел. Легко понять, что эта группа не что иное, как мультипликативная группа поля комплексных чисел.

Рассмотрим также группу М₂ невырожденных квадратных матриц второго порядка с операцией умножения матриц (см. пример 2.9.е).

Определим отображение f множества ℂ комплексных чисел в множество квадратных матриц второго порядка, положив для произвольного ненулевого комплексного числа а + bi, что

Покажем, что f - гомоморфизм групп. С одной стороны,

f[(a + bi)(с + di)] = f[(ac - bd) + i(ad + bc)] =

С другой стороны,

Следовательно,

f[(a + bi)(с + di)] = f(a + bi) f(с + di).

Таким образом, отображение f — гомоморфизм групп, а гомоморфный образ мультипликативной группы комплексных чисел при f — это подгруппа K группы матриц M₂, состоящая из матриц вида Здесь мы учли, что любая матри ца вида является образом некоторого комплексного числа (а именно а + bi) при отображении f. Группа K — собственная подгруппа группы M₂. #

Сформулируем без доказательства одно важное свойство гомоморфизмов групп.

Теорема 2.15. Если f — гомоморфизм группы g в группу K, a g — гомоморфизм группы K в группу L, то композиция отображений f॰g есть гомоморфизм группы g в группу L. #

Рассмотрим некоторые свойства изоморфизмов групп.

Теорема 2.16. Если f: g₁ → g₂ — изоморфизм группы g₁ на группу g₂ то отображение f^-1, обратное к отображению f, есть изоморфизм группы g₂ на группу g₁.

◀Пусть х и у — произвольные элементы группы g₂, пусть также х = f(u), а у = f(v), где u и v — элементы группы g₁.

Тогда

f^-1(xy) = f^-1(f(u)f(v)) = uv = f^-1(x) f^-1(y),

т.е. отображение f^-1 — гомоморфизм второй группы в первую. Но так как отображение, обратное к биекции, есть биекция, то f^-1 — изоморфизм группы g₂на группу g₁.▶

Группы g и K называют изоморфными, если существует изоморфизм одной из них на другую. При этом используют обозначение g ≅ K.

Изоморфные группы с точки зрения их алгебраических свойств совершенно одинаковы, хотя их элементы могут иметь различную природу. Вернемся в этой связи к примеру 2.22. Легко убедиться в том, что определенное там отображение а множества комплексных чисел на множество квадратных матриц специального вида является биекцией. Следователь- Следовательно, мультипликативная группа комплексных чисел и группа матриц указанного вида с операцией умножения матриц изо- изоморфны, хотя элементы этих групп на первый взгляд не имеют между собой ничего общего.

Определение 2.8. Ядром гомоморфизма f группы g в группу К называют прообраз Кег f единицы группы g при гомоморфизме f: Кегf = f^-1(1)⊆ G.

Пример 2.23. Ядром гомоморфизма, рассмотренного в примере 2.21, служит множество всех целых чисел, делящихся на k.

Теорема 2.17. Ядро Кегf гомоморфизма f: g → K есть подгруппа группы g.

◀Нужно убедиться в том, что множество Кег f замкнуто относительно умножения группы Q, содержит единицу этой группы и вместе с каждым элементом содержит обратный к нему элемент.

Если a, b ∈ Ker f, т.е. f(a) = f(b) = 1, то f(ab) = f(a)f(b) = = 1 и аb ∈ Кегf. Ясно, что 1 ∈ Kerf, так как f(1) = 1 (см. теорему 2.14). Если а ∈ Кегf, то f(а^-1) = [f(а)]^-1 = 1^-1 = 1, т.е. и a^-1 ∈ Кегf. ▶

Ядро гомоморфизма, приведенного в примере 2.21, представляет собой подгруппу аддитивной группы целых чисел, состоящую из всех чисел, кратных k.

Подгруппа Н группы g называется нормальной подгруппой (нормальным делителем) группы g, если аН = На для любого a ∈ G.

В коммутативной группе, как было отмечено выше, аН = = На. Следовательно, в этом случае любая подгруппа является нормальным делителем.

Пусть H = (H, ⋅, 1) — подгруппа группы g = (G, ⋅, 1). Для фиксированных элементов a, b ∈ G через аНb обозначим множество всех произведений вида ahb, где h ∈ Н. В силу ассоциативности групповой операции это обозначение корректно.

Теорема 2.18. Подгруппа H = (H, ⋅, 1) является нормальным делителем группы g = (G, ⋅, 1) тогда и только тогда, когда аНа^-1 ⊆ Н для любого а ∈ G.

◀Если Н — нормальный делитель, то для любого а ∈ G аН = = На, т.е. для любого h ∈ H найдется такое h₁ ∈ H, что аh = = h₁a. Пусть элемент х ∈ аНа^-1, т.е. x = aha^-1 для некоторого h ∈ Н. Так как ah = h₁а, то х = h₁аa^-1 = h₁ ∈ H и поэтому аHа^-1 ⊆ H.

Обратно, если аНа^-1 ⊆ H, то любой элемент х = aha^-1, где h ∈ Н, принадлежит и множеству H, т.е. aha^-1 = h₁ для некоторого h₁ ∈ H. Отсюда, умножая последнее равенство на a справа, получим ah = h₁a, т.е. элемент ah из левого смежного класса аН принадлежит и правому смежному классу На. Итак, аН ⊆ На.

Теперь возьмем для произвольного a ⊆ G обратный к а элемент а^-1 и для него запишем включение а^-1 На ⊆ H (напомним, что (а^-1)^-1 = а). Рассуждая как и выше, получим, что для некоторых h, h₁∈ H имеет место равенство a^-1h = h₁a^-1, т.е. ha = ah₁ и На ⊆ аH. Итак, аН = Hа и H — нормальный делитель. ▶

Оказывается, существует связь между понятием нормального делителя и понятием гомоморфизма, которая продолжает и углубляет на новом уровне уже известную нам из главы 1 связь между понятиями отображения и класса эквивалентности.

Теорема 2.19. Ядро гомоморфизма f группы g в группу K является нормальным делителем группы g.

Для любого у ∈ Кег f и любого a ∈ G имеем

f(aya^-1) = f(a)f(y)f(a^-1) = f(a)⋅0⋅f(a^-1) = f(a)f(a^-1) = 1

Это значит, что для любого а ∈ G выполняется соотношение а(Кег f)а^-1 ⊆ Кег f, а, согласно теореме 2.18, Кегf — нормальный делитель. ▶

Пусть H = (H, ⋅, 1) — нормальный делитель группы g = = (G, ⋅, 1). Рассмотрим множество всех левых смежных классов {аН: a ∈ G}. Это будет не что иное, как фактор-множество множества G по определенному выше (см. теорему 2.11) отношению эквивалентности ~_H.

Введем операцию умножения на множестве всех левых смежных классов следующим образом: произведением аН ⋅ bН классов аН и bН назовем класс аbН.

Это определение корректно, так как множество аН ⋅ bН, т.е. множество всех произведений вида ahbh₁ для различных h, h₁ ∈ H, в силу того что Hb = bH для всякого b ∈ G, совпадает с левым смежным классом аbH. Действительно, поскольку hb = = bH' для некоторого h' ∈ H, то ahbh₁ = abh'h₁ ∈ аbH.

Теперь рассмотрим некоторый х ∈ аbH, т.е. x = abh для некоторого x ∈ Н₁. Поскольку bh = h'b для некоторого h' ∈ Н, то х = аx'b = ah'b1 ∈ aHbH. Следовательно, аH ⋅ bН = abH.

Можно далее легко показать, что для каждого a ∈ G имеют место аН ⋅ Н = Н ⋅ аН = аН и аН а^-1Н = а¹Н ⋅ аН = Н. Тем самым определена группа, носителем которой является фактормножество G/~_H множества G по отношению эквивалентности ~_Hс операцией умножения левых смежных классов, причем нейтральным элементом относительно этой операции служит носитель подгруппы H, а обратным к левому смежному классу аН будет левый смежный класс а^-1Н. Эту группу называют фактор-группой группы g по нормальному делителю H и обозначают g/H. Можно указать естественный гомоморфизм f группы g в фактор-группу g/H, который вводится согласно правилу: (Aх ∈ G)(f(x) = хН). Так как хН ⋅ уН = хуН, то для любых x,y ∈ G f(xy) = xyH = хН⋅ уН = f(x)f(y) и f — действительно гомоморфизм. Его называют каноническим гомоморфизмом группы g в фактор-группу g/H.

Пример 2.24. а. Рассмотрим аддитивную группу ℝ = = (ℝ, +, 0) действительных чисел. Эта группа коммутативна. Напомним, что в коммутативной группе любая подгруппа будет нормальным делителем. Поэтому для нее нормальным делителем является подгруппа целых чисел ℤ = (ℤ, +, 0) (аддитивная группа целых чисел). (Для этих групп мы приняли такие же обозначения, как и для их носителей: ℝ и ℤ соответственно.)

Выясним смысл отношения экивалентности ~_ℤ определяемого через равенство левых смежных классов*, по подгруппе ℤ в этом случае.

Равенство левых смежных классов а + ℤ = b + ℤ означает, что для любого целого m найдется такое целое n, что а + m = b + n, т.е. a-b = n-m ∈ ℤ. Обратно, если разность а — b есть целое число, т.е. a —b = n ∈ Z, то a + Z = (b + n) + ℤ = b + ℤ. Итак, a~_ℤ b тогда и только тогда, когда а - b ∈ ℤ, или, иначе говоря, действительные числа а и b ~_ℤ - эквивалентны тогда и только тогда, когда их дробные части равны.

*Мы можем говорить в данном случае просто о смежных классах, не различая левых и правых, так как для нормального делителя эти классы равны, тем более что мы „работаем" сейчас в коммутативной группе.

Аддитивная группа смежных классов, т.е. фактор-группа ℝ/ℤ группы ℝ по нормальному делителю ℤ строится так: сумма классов а + ℤ и b + ℤ равна классу (а + b) + ℤ. Вводя обозначение а + ℤ = [а], получаем [а] + [b] = [а + b]. При этом [0] = ℤ (т.е. единица фактор-группы — это смежный класс нуля — множество всех целых чисел), причем -[а] = [-а] = (-а) + ℤ. Обратим внимание на то, что смежный класс числа х однозначно определяется его дробной частью (см. пример 1.14.6), т.е. [х] = []. Канонический гомоморфизм в данном случае задается так: х ↣ [х].

б. Рассмотрим теперь аддитивную группу действительных чисел по модулю 1, т.е. группу S¹ = ([0,1), ⊕₁, 0), заданную на полуинтервале [0,1), сложение в которой определяется так: х ⊕₁ у = <х + у data_liveedit_tagid="0x00007fb3c698dda0"> (дробная часть суммы х + у). Другими словами,

Докажем, что группа S¹ изоморфна фактор-группе ℝ/ℤ, т.е. ℝ/ℤ ≅ S¹.

Зададим отображение φ множества {[a]: а ∈ ℝ} смежных классов в полуинтервал [0,1) так, что φ([х]) = . Поскольку [х] = [] — биекция и, кроме того,

φ([х] + [y]) = φ([х+y]) = < x+y > = < < x > + < y >> = < x > ⊕₁< y > = φ ([х]) ⊕₁ φ ([y]).

Это значит, что φ — изоморфизм ℝ/ℤ на S¹.

Группу S¹ можно воспринимать как „наглядный образ" фактор-группы ℝ/ℤ. Довольно абстрактная идея фактор-группы кристаллизуется в виде группы с носителем [0,1) и операцией сложения неотрицательных действительных чисел, строго меньших единицы, с отбрасыванием в результате целой части. Здесь хорошо видна „польза" понятия изоморфизма. То, что само по себе не очень наглядно, становится наглядным через свой изоморфный образ.