Гомоморфизмы колец

Теория

Рассмотрим очень коротко вопрос о гомоморфизмах колец и полей.

Пусть R1 = (R1, +, ⋅, 0, 1) и R2 = (R2, +, ⋅, 0, 1) - кольца.

Определение 2.9. Отображение f: R1 → R2 называют гомоморфизмом колец (кольца R1 в кольцо R1), если f(x + y) = f(x) + f(у), f(x ⋅ y) = f(x) ⋅ f(y) для любых x, у ∈ R1, т.е. образ суммы и произведения любых двух элементов кольца R1 при отображении f равен соответственно сумме и произведению их образов в кольце R2.

Если отображение f сюръективно (соответственно биективно), то его называют эпиморфизмом (соответственно изоморфизмом) колец (кольца R1 на кольцо R2)

Пример 2.25. Рассмотрим R1 = (ℤ, +, ⋅, 0, 1) — кольцо целых чисел — и ℤk = (ℤk, ⊕k, ⨀k, 0, 1) — кольцо вычетов по модулю k. Зададим отображение f: ℤ → ℤk так: для всякого целого т образ f(m) равен остатку от деления m на k. Ранее мы уже доказали (см. пример 2.21), что для любых целых m и n имеет место равенство f(m + n) = f(m) ⊕k f(n). Рассуждая аналогично, можно показать, что для любых целых тип также верно равенство f(m ⋅ n) = f(m) ⨀k f(n). С учетом того что отображение f сюръективно, приходим к выводу, что оно является гомоморфизмом кольца целых чисел на кольцо ℤk вычетов по модулю k. #

Без доказательства сформулируем некоторые теоремы о гомоморфизмах и изоморфизмах колец (и полей). Все эти утверждения могут быть доказаны по аналогии с соответствующими теоремами о гомоморфизмах и изоморфизмах групп.

Теорема 2.20. Пусть R1 и R2 — произвольные кольца. Если f: R1 → R2 — гомоморфизм, то

  1. образ нуля кольца R1 при отображении f есть нуль кольца R2, т.е. f(0) = 0;
  2. образ единицы кольца R1 при отображении f есть единица кольца R2, т.е. f(1) = 1;
  3. для всякого элемента х кольца R1 образ элемента, противоположного элементу x, равен элементу, противоположному образу элемента x, т.е. f(-x) = -f(x);
  4. если кольца R1 и R1 являются полями, то для всякого элемента х кольца R1 образ элемента, обратного к элементу х по умножению, равен элементу, обратному к образу элемента x, т.е. f(x-1) = [f(x)]-1

Теорема 2.21. Если f — гомоморфизм кольца R в кольцо K, a g — гомоморфизм кольца K в кольцо L, то композиция отображений f॰g есть гомоморфизм кольца R, в кольцо L.

Теорема 2.22. Если f: R1 → R2 — изоморфизм кольца R1 на кольцо R2, то отображение f-1 есть изоморфизм кольца R2 на кольцо R1. #

Как и в случае групп, определяются понятия гомоморфного образа кольца и изоморфных колец. А именно кольцо К называют гомоморфным образом кольца R, если существует гомоморфизм кольца R на кольцо K. Два кольца R и K называют изоморфными и пишут R ≅ K, если существует изоморфизм одного из них на другой.

Так, например, кольцо вычетов по модулю к есть гомоморфный образ кольца целых чисел при гомоморфизме, задаваемом отображением, которое каждому целому т сопоставляет остаток от деления m на k.

Рассмотрим один интересный пример изоморфизма полей.

Пример 2.26. Так же как и в примере 2.22, поставим в соответствие комплексному числу а + bi матрицу f(a + bi) = . Получим отображение f , которое, как уже было доказано, является инъекцией, причем а(0) = а(0 + 0 ⋅ i) = 0, где 0 — нулевая матрица. Заметим, что, поскольку определитель матрицы указанного вида равен а2 + b2, среди всех таких матриц только нулевая будет иметь нулевой определитель.

Далее, легко проверить, что множество таких матриц за- замкнуто относительно операций сложения и умножения ма- матриц, содержит (как уже было отмечено) нулевую и единичную матрицы, а также вместе с каждой матрицей А матрицу —А и вместе с каждой ненулевой матрицей обратную к ней матрицу. Это значит, что множество матриц вида , a, b, ∈ ℝ , с операциями сложения и умножения матриц образует поле. Обозначим его М(a,b)2.

Из примера 2.22 следует, что мультипликативная группа поля комплексных чисел изоморфна мультипликативной группе поля М(a,b)2. Так как

f[(a+bi) + (c+di)] = f{(a+c) + (b+d)i] =

= f(a+bi) + f(c+di),

то и аддитивная группа поля комплексных чисел изоморфна аддитивной группе поля М(a,b)2. Итак, мы получаем, что поле комплексных чисел изоморфно полю матриц М(a,b)2 . Этот изоморфизм лежит в основе матричного представления алгебры комплексных чисел, что имеет значение для компьютерных реализаций этой алгебры.