Модули и линейные пространства

Рассмотрим абелеву группу g = (G, +, 0) и кольцо R  = (R, +, ⋅, 0, 1). Пусть каждому элементу а кольца R сопоставлено отображение ω_a носителя группы g в себя так, что для любых а, β ∈ R и любых x,y ∈ G выполняются равенства:

1. ω_a(x+y) = ω_a(x) + ω_a(y);
2. ω_a+β (x) = ω_a(x) + ω_β(x);
3. ω_a⋅β (x) = ω_a(ω_β(x));
4. ω₁(x) = x.

Последнее равенство означает, что отображение ω₁, сопоставленное единице кольца R, является тождественным отображением множества G на себя.

Тогда абелева группа g называется левым модулем над кольцом R.

Если равенство 3 в определении модуля переписать так:

3') ω_a⋅β (x) = ω_β(ω_a(x)),

то получим определение правого модуля над кольцом R.

Для коммутативного кольца R левый и правый модули совпадают, так как ω_a(ω_β(x)) = ω_β⋅a (x) = ω_β(ω_a(x)).

Заметим, что модуль можно рассматривать как алгебру с бесконечной сигнатурой, если множество R бесконечно:

g = (G, +, 0, {ω_a: а ∈ R}).

Следует подчеркнуть, что модуль есть именно абелева группа с дополнительными операциями, отображениями ω_a, сопоставленными элементам кольца R. Носитель модуля есть носитель G группы g.

Теорема 2.10. В любом R-модуле имеют место тождества:

1) ω₀(x) = 0

2) ω_-1(x) = -x

◀ 1) x+ω₀(x) =ω₁(x) +ω₀(x) = ω₁₊₀(x) = ω₁(x) = x

Решая уравнение х + ω₀(x) = х относительно ω₀(x) получаем ω₀(x) = х — х = 0.

2) x + ω_-1(x) = ω₁(x)+ω_-1(x) = ω_1+(-1)(x) = ω₁(x)= 0. Таким образом, х+ω_-1(x) = 0, откуда в силу определения противоположного элемента получаем ω_-1(x) = -x. ▶

Пример 2.16. а. Пусть R = (R, +, ⋅, 0, 1) - произвольное кольцо. В качестве группы g возьмем аддитивную группу этого кольца, а отображение ω_a, a ∈ R, определим так, что ω_a(x) = а⋅х, х ∈ ℝ. Это отображение называют левым сдвигом на а. Тогда равенства 1-4 выполнены в силу аксиом кольца. Таким образм, получаем левый модуль, носитель которого — аддитивная группа кольца, а отображение ω_a есть левый сдвиг произвольного элемента кольца на заданное а.

Если теперь задать для каждого a ∈ R отображение ω˜_a: R → R так, что ω˜_a(х) = x ⋅ а (правый сдвиг на а), то получим правый модуль с тем же носителем, но сигнатура его (помимо операции сложения исходного кольца ℝ) будет состоять из всевозможных правых сдвигов ω˜_a.

б. Пусть g есть аддитивная группа векторов какого-либо линейного пространства L, а R — кольцо линейных операторов из L в L. Тогда, полагая для произвольных линейного оператора А и вектора х пространства L ω_a(x) = Ах, получаем, как нетрудно проверить, левый модуль над кольцом R.

в. Пусть R — кольцо квадратных числовых матриц порядка n с обычными операциями сложения и умножения матриц (см. пример 2.12.г), a g — группа матриц-столбцов типа n x 1 по сложению. Отображение ω_a определим по правилу ω_a(x) = АХ, где А — квадратная матрица, а X — вектор-столбец. Легко видеть, что равенства 1-4 вытекают из свойств умножения матриц и линейных операций над матрицами [III].

В результате получим левый модуль над кольцом квадратных матриц.

Аналогично, взяв в качестве g аддитивную группу матриц- строк типа 1 х n и определив отображение ω˜_a(У) = Y А, где А — квадратная матрица порядка га, a Y — матрица-строка, получим правый модуль над кольцом квадратных матриц. #

Если рассматривается левый R-модуль, то отображение ω_a называют левым умножением на элемент а кольца R и применяют обозначение ω_a(х) =а॰x. Для правого R-модуля отображение ω_a называют правым умножением на элемент а кольца 11 и пишут ω_a(х) = х ॰ а.

R-модуль, у которого кольцо R является полем, называют линейным пространством над полем R. Если кольцо R является полем действительных чисел (или полем комплексных чисел), то мы получаем действительное (соответственно комплексное) линейное пространство.