Модули и линейные пространства
ТеорияРассмотрим абелеву группу g = (G, +, 0) и кольцо R = (R, +, ⋅, 0, 1). Пусть каждому элементу а кольца R сопоставлено отображение ωa носителя группы g в себя так, что для любых а, β ∈ R и любых x,y ∈ G выполняются равенства:
- ωa(x+y) = ωa(x) + ωa(y);
- ωa+β (x) = ωa(x) + ωβ(x);
- ωa⋅β (x) = ωa(ωβ(x));
- ω1(x) = x.
Последнее равенство означает, что отображение ω1, сопоставленное единице кольца R, является тождественным отображением множества G на себя.
Тогда абелева группа g называется левым модулем над кольцом R.
Если равенство 3 в определении модуля переписать так:
3') ωa⋅β (x) = ωβ(ωa(x)),
то получим определение правого модуля над кольцом R.
Для коммутативного кольца R левый и правый модули совпадают, так как ωa(ωβ(x)) = ωβ⋅a (x) = ωβ(ωa(x)).
Заметим, что модуль можно рассматривать как алгебру с бесконечной сигнатурой, если множество R бесконечно:
g = (G, +, 0, {ωa: а ∈ R}).
Следует подчеркнуть, что модуль есть именно абелева группа с дополнительными операциями, отображениями ωa, сопоставленными элементам кольца R. Носитель модуля есть носитель G группы g.
Теорема 2.10. В любом R-модуле имеют место тождества:
1) ω0(x) = 0
2) ω-1(x) = -x
◀ 1) x+ω0(x) =ω1(x) +ω0(x) = ω1+0(x) = ω1(x) = x
Решая уравнение х + ω0(x) = х относительно ω0(x) получаем ω0(x) = х — х = 0.
2) x + ω-1(x) = ω1(x)+ω-1(x) = ω1+(-1)(x) = ω1(x)= 0. Таким образом, х+ω-1(x) = 0, откуда в силу определения противоположного элемента получаем ω-1(x) = -x. ▶
Пример 2.16. а. Пусть R = (R, +, ⋅, 0, 1) - произвольное кольцо. В качестве группы g возьмем аддитивную группу этого кольца, а отображение ωa, a ∈ R, определим так, что ωa(x) = а⋅х, х ∈ ℝ. Это отображение называют левым сдвигом на а. Тогда равенства 1-4 выполнены в силу аксиом кольца. Таким образм, получаем левый модуль, носитель которого — аддитивная группа кольца, а отображение ωa есть левый сдвиг произвольного элемента кольца на заданное а.
Если теперь задать для каждого a ∈ R отображение ω˜a: R → R так, что ω˜a(х) = x ⋅ а (правый сдвиг на а), то получим правый модуль с тем же носителем, но сигнатура его (помимо операции сложения исходного кольца ℝ) будет состоять из всевозможных правых сдвигов ω˜a.
б. Пусть g есть аддитивная группа векторов какого-либо линейного пространства L, а R — кольцо линейных операторов из L в L. Тогда, полагая для произвольных линейного оператора А и вектора х пространства L ωa(x) = Ах, получаем, как нетрудно проверить, левый модуль над кольцом R.
в. Пусть R — кольцо квадратных числовых матриц порядка n с обычными операциями сложения и умножения матриц (см. пример 2.12.г), a g — группа матриц-столбцов типа n x 1 по сложению. Отображение ωa определим по правилу ωa(x) = АХ, где А — квадратная матрица, а X — вектор-столбец. Легко видеть, что равенства 1-4 вытекают из свойств умножения матриц и линейных операций над матрицами [III].
В результате получим левый модуль над кольцом квадратных матриц.
Аналогично, взяв в качестве g аддитивную группу матриц- строк типа 1 х n и определив отображение ω˜a(У) = Y А, где А — квадратная матрица порядка га, a Y — матрица-строка, получим правый модуль над кольцом квадратных матриц. #
Если рассматривается левый R-модуль, то отображение ωa называют левым умножением на элемент а кольца R и применяют обозначение ωa(х) =а॰x. Для правого R-модуля отображение ωa называют правым умножением на элемент а кольца 11 и пишут ωa(х) = х ॰ а.
R-модуль, у которого кольцо R является полем, называют линейным пространством над полем R. Если кольцо R является полем действительных чисел (или полем комплексных чисел), то мы получаем действительное (соответственно комплексное) линейное пространство.