Семейства множеств

Теория

Рассматриваемое ниже понятие семейства множеств обобщает аналогичное понятие, сформулированное в [I]. Пусть U — универсальное множество. Если каждому натуральному числу n взаимно однозначно сопоставлено некоторое подмножество Аn ⊆ U, то тем самым определена последовательность множеств A1, ..., An, ..., или, в короткой записи, (An)n∈ℕ. Предположим теперь, что вместо множества ℕ натуральных чисел задано произвольное множество I и каждому элементу i ∈ I взаимно однозначно сопоставлено подмножество Ai ⊆ U. Тогда говорят, что задано (индексированное) семейство множеств (Ai)i∈I. Множество I называют множеством индексов, а множества Ai — элементами семейства (Ai)i∈I.

В случае I = ℕ получаем последовательность множеств, или счетное семейство множеств; если множество I конечно, получаем конечное семейство множеств. Таким образом, семейство (Ai)i∈I определено, если задано отображение v: I→2U.

Отметим, что любое множество, элементы которого есть некоторые подмножества универсального множества U, т.е. любое множество А ⊆ 2U, можно считать семейством (Ai)i∈I, где I = A, a v — тождественное отображение множества А на себя.

Пример 1.11. Рассмотрим в качестве множества индексов множество точек некоторой гладкой плоской кривой [II] (рис. 1.6) и каждой точке сопоставим касательную, проведенную к кривой в этой точке (которая будет единственной в силу гладкости). Тогда получаем семейство множеств, элементами которого служат множества точек различных касательных. #

Рис. 1.6. Семейства множеств

Операции объединения и пересечения множеств можно распространить на произвольные семейства множеств [I].

  1. Объединение семейства множеств:
  2. Пересечение семейства множеств:

Методом двух включений можно доказать следующие тождества:

Аналогично можно доказать тождества

Тождества (1.5) выражают свойство бесконечной дистрибутивности операций пересечения и объединения, а тождества (1.6) называют бесконечными законами де Моргана.