Кортеж. Декартово произведение

Пусть А и В — произвольные множества. Неупорядоченная пара на множествах А и В — это любое множество {а, b}, где а ∈ А, b ∈ В или а∈В,b∈А.

Если А = Б, то говорят о неупорядоченной паре на множестве А. Исходя из понятия равенства множеств, можно утверждать, что неупорядоченная пара {а, b} равна неупорядоченной паре {с, d} если и только если а = с и b = d или a = d и b = с. Заметим, что равенство элементов множества понимается здесь (и далее в аналогичных ситуациях) как равенство индивидных констант.

В том случае, когда в неупорядоченной паре {а, b} элементы а и b совпадают, получаем, что {а, b} = {а, а}. Но такая запись, как мы условились выше, задает то же самое множество, что и {а}. Таким образом, при а = b неупорядоченная пара {а, b} „вырождается" в одноэлементное множество {а}. При а ≠ b неупорядоченная пара будет двухэлементным множеством.

Упорядоченная пара на множествах А и B, обозначаемая записью (а, b), определяется не только самими элементами а ∈ А и b ∈ В, но и порядком, в котором они записаны. И в этом состоит ее существенное отличие от неупорядоченной пары. Если А = B, то говорят об упорядоченной паре на множестве А.

Существенная роль порядка, в котором перечисляются элементы упорядоченной пары, фиксируется определением равенства упорядоченных пар.

Определение 1.1. Две упорядоченные пары (а, b) и (а', b') на множествах А и В называют равными, если а = а' и b = b'.

Замечание 1.2. Упорядоченную пару (а, 6b) не следует связывать с множеством {а, b}, так как упорядоченная пара характеризуется не только составом, но и порядком элементов в ней. Более того, определение этого объекта вообще не позволяет рассматривать его как множество. Но упорядоченную пару можно определить и как множество, полагая, что упорядоченная пара (а, b) есть неупорядоченная пара {{а}, {а, b}}, включающая в себя одноэлементное множество {а} и неупорядоченную пару {а, b}. При а = b получаем (a, а) = {{а}}. Такое определение не изменит сути понятия, но тогда следует не определять явно равенство упорядоченных пар, а доказывать теорему о равенстве упорядоченных пар как определенного ви- вида множеств. #

Простейший и важнейший пример использования упорядо- упорядоченных пар дает аналитическая геометрия [III]. Если на плоскости введена некоторая прямоугольная система координат, то каждая точка плоскости однозначно задается упорядоченцои парой действительных чисел — координатами этой точки. Ни у кого не возникает сомнений в том, что порядок, в котором перечисляются координаты точки, является существенным: точка, заданная координатами (1, 3), совсем не то же самое, что точка с координатами (3, 1).

Обобщением понятия упорядоченной пары является упорядоченный n-набор*, или кортеж. В отличие от конечного множества {a₁,...,a_n} кортеж (a₁,...,a_n) на множествах A₁,...,A_n характеризуется не только входящими в него элементами a₁ ∈ A₁, ..., a_n ∈ A_n, но и порядком, в котором они перечисляются. Как и для упорядоченных пар, роль порядка в кортеже фиксируется определением равенства кортежей.

Определение 1.2. Два кортежа (a₁,...,a_n) и (b₁,...,b_n) на множествах A₁,...,A_n равны, если a_i = b_i, i = 1,n.

Число n называется длиной кортежа (или размерностью кортежа), а элемент a_i — i-й проекцией (компонентой) кортежа. Для двух кортежей одинаковой размерности их компоненты с одинаковыми номерами называют одноименными компонентами. Определение 1.2 равенства кортежей можно переформулировать так: два кортежа одинаковой размерности равны тогда и только тогда, когда их одноименные компоненты совпадают.

Простейшим примером кортежа является арифметический вектор.

Определение 1.3. Множество всех кортежей длины n на множествах A₁,...,A_n называют декартовым (прямым) произведением множеств A₁,...,A_n и обозначают A₁ ×... × A_n.

Таким образом,

A₁ ×... × A_n = {(a₁,...,a_n):a₁ ∈ A₁...,a_n ∈ A_n}.

Если все множества A_i, i = 1,n, равны между собой, то указанное декартово произведение называют n-й декартовой степенью множества А и обозначают Аⁿ. В частности, при n = 2 получаем декартов квадрат, а при n = 3 — декартов куб множества А.

*Говорят также: упорядоченная n-ка (например, упорядоченная тройка, четверка, пятерка и т.д.).

По определению полагают, что первая декартова степень любого множества А есть само множество А, т.е. А¹ = А.

Декартово произведение имеет следующие свойства:

1. А × (B ∪ C) = (А × В) ∪ (А × С);
2. А × (В ∩ С) = (А × В) ∩ (А × С);
3. А × ∅ = ∅ × А = ∅.

Эти свойства нетрудно доказать методом двух включений. Докажем, например, первое тождество. Если (x, y) ∈ A × (В ∪ С), то x ∈ А и у ∈ В ∪ С. Из того, что у ∈ В ∪ С, следует у ∈ В или у ∈ С. Если у ∈ В, то (x, у) ∈ А × В, а если у ∈ С, то (x, у) ∈ А × С. Итак, (x, у) ∈ А × B или (x, у) ∈ А × С, т.е. (x, у) ∈ (А × В) ∪ (А × С). Следовательно, А × (В ∪ С) ⊆ (А × В)∪(А × С).

Доказательство обратного включения аналогично.

Обратим внимание на последнее из записанных выше трех тождеств. Из него вытекает, что пустое множество при построении декартовых произведений множеств играет ту же роль, что и нуль при умножении чисел. Докажем справедливость этого тождества. В самом деле, множество ∅ х А (для любого А) есть множество всех упорядоченных пар (x, у), таких, что x ∈ ∅ и у ∈ А. Но таких элементов x, что x ∈ ∅, не существует, и, следовательно, упорядоченных пар (x, у), принадлежащих декартову произведению ∅ × А, не существует, т.е. ∅ × А = ∅. Аналогично доказывается, что и А × ∅ = ∅.