Кортежи и декартово произведение множеств

^{Решение задач}

Определение. Пусть даны множества A₁ , A₂ ,..., A_n. Кортежем (или вектором) длины n, составленным из элементов этих множеств, называется конечная последовательность a = (x₁,x₂,...,x_n ), где для всех k, 1 ≤ k ≤ n, имеем x_k ∈ A_k. Элемент x_k называется k - ой координатой или k - ой компонентой кортежа a .

Определение. Два кортежа равны в том и только в том случае, когда они имеют одинаковую длину, причём их координаты, стоящие на местах с одинаковыми номерами, равны. Т. е. кортежи a = (x₁ , x₂ ,..., x_m) и B = (y₁ , y₂ ,..., y_n)

равны в том и только том случае, когда m = n , причём x_k = y_k для всех 1 ≤ k ≤ n.

Определение. Кортеж, не содержащий ни одной компоненты, т. е. кортеж длины 0, называется пустым.

Основные отличия понятий кортежа и множества следующие:

а) во множестве порядок элементов не играет роли, а кортежи, отличающиеся порядком элементов, различны, даже в случае, когда они имеют одинаковый состав;

б) во множестве все элементы различны, а в кортеже координаты могут повторяться.

Определение. Декартовым произведением двух множеств A и B называется множество упорядоченных пар (a;b), где a ∈ A и b ∈ B.

Обозначение: A × B: = {(a;b)| a ∈ A & b ∈ B}.

Теорема 2.1. Число элементов декартова произведения |A×B| = |A|⋅ |B| .

Определение. Пусть A₁ , A₂ ,..., A_n – некоторые множества. Их декартовым произведением называют множество, состоящее из кортежей вида (a₁ , a₂ ,..., a_n) , где a₁∈A, a₂∈A₂, ..., a_n∈A_n.

Обозначение: A₁ × A₂ ×...× A_n .

Теорема 2.2. Число элементов декартова произведения |A₁×A₂×...×A_n| = |A₁|⋅|A₂|⋅...⋅|A_n|.

Определение. Произведение сокращённо обозначается как Aⁿ и называется декартовой n - ой степенью множества A .

Задача2.1. Пусть X = {1,2,3}, Y = {a,b}.

Найти: а) X × Y , б) Y × X , в) X² , г) X × Y × X .

Решение.

а) X × Y = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}.

б) Y × X = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}.

в) X² = X × X = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2),(3,3).

Задачи для самостоятельного решения

1) Пусть X = {a,b,c,d}, Y = {k,e,l}. Найти: X × Y, Y × X × Y.

2) Пусть X = {a,c,d,e}, Y = {e,m,n}. Найти: Y × X, X × X × Y.

3 )Пусть X = {c,d,f}, Y = {k,l,n,t}. Найти: X × Y, Y × Y × X.

4 )Пусть X = {a,c,d,e}, Y = {e,m,n}. Найти: Y × X, X × X × Y.

5) Пусть X = {1;2;5;6}, Y = {3;4;1}. Найти: X × X, Y × X × Y.

6) Пусть X = {3;5;7;9;1}, Y = {6;7}. Найти: X × Y, Y × Y × X.

7) Пусть X = {a,b,c,d}, Y = {k,e,l}. Найти: Y × X, X × Y × X.

8) Пусть X = {a,c,d,e}, Y = {l,m,n}. Найти: X × X, Y × X ×Y .

9) Пуст ь X = {c,d,f}, Y = {k,l,n,t}. Найти: Y × Y, X × Y × X.

10) Пусть X = {a,c,d,e}, Y = {e,m,n}. Найти: X × Y, Y × Y × X .