Алгебры: группы и кольца

Предметом рассмотрения в абстрактной алгебре являются произвольные множества с заданными на них операциями. При этом природа множеств и операций может существенно отличаться от привычных числовых множеств и известных операций над числами. Мы уже сталкивались с операциями над множествами и бинарными отношениями, которые оказались в чем-то похожими на операции над числами, но в то же время проявились и их существенные отличия.

В дискретной математике разрабатываются алгоритмы и вычислительные методы, позволяющие манипулировать сложно организованными нечисловыми структурами. Проблема работы с такими объектами возникла в связи с развитием современных информационных технологий и переходом от собственно вычислений (т.е. операций над числами) к обработке сложных структур данных. Так, проблемы программирования и машинного перевода привели к задачам работы с языковыми структурами, проблемы автоматизации проектирования — к задачам обработки графических объектов.

Современная дискретная математика проникнута алгебраическим духом, поскольку оказалось, что именно на алгебраической базе наиболее удобно разрабатывать общие подходы к работе с объектами различной природы.

• Операции. Понятие алгебраической структуры

  Множество векторов в пространстве с операцией сложения векторов, операцией векторного умножения, множество ква- квадратных матриц с операциями сложения или умножения, мно- множество функций с операцией сложения — вот примеры некото- рых множеств с операциями, рассматривающихся в различных разделах математики. Выясним, что общего есть в свойствах операций на этих множествах и в чем их различие.Подробнее

• Группоиды, полугруппы, группы

  Рассмотрим алгебры, сигнатуры которых состоят из одной бинарной операции. Эту операцию будем обозначать точкой (⋅) и условно называть в этом случае умножением.  Группоидом называют любую алгебру g = (G, ⋅), сигнатура которой состоит из одной бинарной операции. В группоиде на бинарную операцию нет никаких ограничений. Подробнее

• Кольца, тела, поля

  Операцию + называют сложением кольца, операцию умножением кольца, элемент 0 - нулем кольца, элемент 1 - единицей кольца. Равенства 1-7, указанные в определении, называют аксиомами кольца. Рассмотрим эти равенства с точки зрения понятия группы и моноида. Подробнее

• Области целостности

  Областью целостности называют коммутативное кольцо без делителей нуля. Так, кольцо целых чисел есть область целостности.Подробнее

• Модули и линейные пространства

  Рассмотрим абелеву группу g = (G, +, 0) и кольцо R  = (R, +, ⋅, 0, 1). Пусть каждому элементу а кольца R сопоставлено отображение ωa носителя группы g в себя так, что для любых а, β ∈ R и любых x,y ∈ G выполняются равенства: Подробнее

• Подгруппы и подкольца

  Пусть g = (G, *) — произвольный группоид и Н ⊆ G — некоторое подмножество множества G. Рассмотрим свойства бинарной операции * группоида g на подмножестве Н. Говорят, что множество Н ⊆ G замкнуто относительно операции *, если х*у ⊆ Н для любых x, у ⊆ Н. В этом случае подмножество Н с операцией * будет группоидом H = (H, *). Его называют подгруппоидом группоида g.Подробнее

• Теорема Лагранжа

  Пусть g = (G, ⋅, 1) — группа, а, Н = H, ⋅, 1) — ее подгруппа. Левым смежным классом подгруппы H по элементу а ∈ G называют множество аН = {у: у = a ⋅ h, h ∈ Н}. Соответственно правый смежный класс подгруппы Н по элементу a ∈ G — это множество Подробнее

• Гомоморфизмы групп и нормальные делители

  Пусть заданы группы g1 = (G1, ⋅, 1) и g2 = (G2, ⋅, 1) Отображение f: G1 → G2 называют гомоморфизмом группы g1 в группу g2 (гомоморфизмом групп), если для любых x, у ∈ G1 выполняется равенство f(x ⋅ у) = f(x) ⋅ f(у), т.е. образ произведения любых двух элементов группы g1 при отображении f равен произведению их образов в группе g2.Подробнее

• Гомоморфизмы колец

  Рассмотрим очень коротко вопрос о гомоморфизмах колец и полей. Пусть R1 = (R1, +, ⋅, 0, 1) и R2 = (R2, +, ⋅, 0, 1) - кольца. Подробнее

• Квантерионы

  Примером тела, не являющегося полем, может служить алгебра кватернионов ("четырехмерных чисел"). Сначала напомним, как строится алгебра комплексных чи- чисел. Комплексное число определяется как упорядоченная пара действительных чисел, причем сложение пар вводится поком- покомпонентно: Подробнее

• Вопросы и задачи

  2.1. Ассоциативна ли операция ⨀ на множестве М, если: а) M = ℕ, x⨀y = 2xy б) M = ℤ, x⨀y = x2 + y2 в) М = ℝ, x⨀y = sinx siny; г)М = ℝ\{0}, x⨀y = xyx/|x| д) M = ℝ, x⨀y = x-y?Подробнее