Множества и отношения

Понятие множества является исходным не определяемым строго понятием*. Приведем здесь определение множества (точнее, пояснение идеи множества), принадлежащее Г. Кантору**: „Под многообразием или множеством я понимаю вообще все многое, которое возможно мыслить как единое, т.е. такую совокупность определенных элементов, которая посредством одного закона может быть соединена в одно целое".

• Множества

  Множества будем, как правило, обозначать большими буквами латинского алфавита, а их элементы — малыми, хотя иногда от этого соглашения придется отступать, так как элементами некоторого множества могут быть другие множества. Тот факт, что элемент а принадлежит множеству А, записывается в виде а ∈ А.Подробнее

• Кортеж. Декартово произведение

  Пусть А и В — произвольные множества. Неупорядоченная пара на множествах А и В — это любое множество {а, b}, где а ∈ А, b ∈ В или а∈В,b∈А.Подробнее

• Соответствия и бинарные отношения

  Отображение f из множества А в множество В считается заданным, если каждому элементу x ∈ А сопоставлен единственный элемент у ∈ В. Отображение f из множествау А в множество В обозначают записью f: А → В. Элемент у ∈ В, который отображением f сопоставляется элементу x ∈ А, называют образом элемента x при отображении f и обозначают f(x). Подробнее

• Операции над соответствиями

  Поскольку соответствия можно считать множествами, то все операции над множествами (пересечение, объединение, разность, дополнение и т.д.) можно применить и к соответствиям. Заметим, что, говоря о дополнении соответствия из Л в В, мы имеем в виду дополнение до универсального соответствия из A в В, т.е. до декартова произведения А × В. Естественно, что и равенство соответствий можно трактовать как равен- равенство множеств. Подробнее

• Семейства множеств

  Рассматриваемое ниже понятие семейства множеств обобщает аналогичное понятие, сформулированное в [I]. Пусть U — универсальное множество. Если каждому натуральному числу n взаимно однозначно сопоставлено некоторое подмножество АПодробнее

• Специальные свойства бинарных отношений

  В этом параграфе дана определенная классификация бинарных отношений на множестве. В основе этой классификации лежат специальные свойства отношений.Подробнее

• Отношения эквивалентности

  Теорема 1.4. Для любого отношения эквивалентности на множестве А множество классов эквивалентности образует разбиение множества А. Обратно, любое разбиение множества А задает на нем отношение эквивалентности, для которого классы эквивалентности совпадают с элементами разбиения. Подробнее

• Упорядоченные множества. Теорема о неподвижной точке

  Множество вместе с заданным на нем отношением порядка называют упорядоченным множеством. Отношение порядка будем, как правило, обозначать < (или значками ⪯, ⊑ и т.п., похожими на ≤). При этом следует понимать, что даже на некотором множестве S ⊆ ℝ рассматриваться может любое отношение порядка, а не только естественный числовой порядок. Множество М с заданным на нем отношением порядка ≤ будем записывать как пару (М,≤). Записывая х ≤ у, мы будем говорить, что элемент х не больше элемента у.Подробнее

• Мощность множества

  Некоторые сведения о мощности множества приведены в [I]. Здесь мы рассмотрим это понятие более подробно. Множество А равномощно множеству И, если существует биекцил f:A→B.Подробнее

• Об одном парадоксе теории множеств

  Задавая с помощью коллективизирующих свойств множества, следует иметь в виду, что не каждое высказывание определяет коллективизирующее свойство. Попробуем определить множество Y = {X: X ∉ X} — множество всех множеств, не являющихся элементами самих себя.Подробнее

• Метод характеристических функций

  Доказательство сложных теоретико-множественных тождеств методом двух включений часто бывает довольно громоздким, и при построении доказательства ход рассуждений не всегда очевиден. Одним из методов, не требующих „угадывания" пути доказательства, является метод характеристических функций.Подробнее

• Вопросы и задачи

  1.2. Используя методы двух включений и характеристических функций, доказать свойства 1-18.Подробнее