Построение минимальных ДНФ

СДНФ, которая строится по таблице булевой функции, зачастую оказывается весьма сложной, т.е. она содержит достаточно много элементарных конъюнкций и литералов. Необходимо уметь находить в определенном смысле минимальную ДНФ, представ.п.яющую исходную функцию.

Уточним задачу.

Определение 6.5. Булеву функцию g называют импликантой* булевой функции f, если для любых наборов значений переменных из g = 1 следует f = 1.

*иногда употребляют и термин "импликант" (мужского рода).

Замечание 6.7. Напомним, что функции f и g можно рассматривать как функции от одного и того же числа переменных (см. 6.3). Обозначая это число через n, можно так уточнить понятие импликанты: функция g ∈ P_2,n есть импликанта функции f ∈ P_2,n, если для каждого набора α˜ ∈ Bⁿ из g(α˜)= 1 следует f(α˜)= 1. Термин "импликанта" естественным образом ассоциируется и с логической связкой, называемой импликацией, и с одноименной булевой функцией. Действительно, если g импликанта f, то из (g → f) = 1 и g = 1 следует, что и f = 1, т.е. истинно высказывание

(∀α˜ ∈ Bⁿ)((g(α˜) = 1) ⇒ (f(α˜) = 1)). #

Если функция f представлена СДНФ, то любая ее элементарная конъюнкция (конституента единицы функции f) будет ее импликантой. Полезно заметить также, что если g₁ и g₂ - импликанты f, то дизъюнкция g₁ ∨ g₂ также является импликантой f. Действительно, если g₁ ∨ g₂ = 1, то g₁ = 1 или g₂ = 1. Но тогда, поскольку каждая из этих функций есть импликанта f, и g₁ ∨ g₂ есть импликанта f.

Из определения 6.5 и понятия равных булевых функцuй (см. определение 6.2) следует, что булевы функции f и g равны, если и только если каждая из них служит импликантой другой: f =1 ⇔ g= 1.

Определение 6.6. ДНФ называют минимальной, если она содержит наименьшее число литералов среди всех ДНФ, эквивалентных ей.

Обратим внимание на то, что под числом литералов в ДНФ понимают число всех подформул этой ДНФ, которые являются литералами. Так, СДНФ (6.9) содержит 12 литералов (по три литерала в каждой из четырех элементарных конъюнкций).

Пример 6.10. ДНФ х₁х₂ ∨ х₁х₂ не является минимальной, так как ее можно преобразовать к эквивалентной ДНФ, не содержащей ни рдного из литералов х˜₁:

х₁х₂ ∨ х˜₁₁х₂ = (х₁ ∨ х˜₁)х₂ = х₂.

Вместо четырех литералов в исходной ДНФ получаем ДНФ, состоящую из одного литерала.

Определение 6.7. Длиной ДНФ называют число входящих в нее элементарных конъюнкций.

ДНФ называют кратчайшей, если она имеет наименьшую длину среди всех эквивалентных ей ДНФ.

Заметим, что кратчайшая ДНФ не обязана быть в то же время минимальной среди всех ДНФ, эквивалентных исходной функции. Но поиск минимальных ДНФ, как мы сейчас увидим, проводится среди кратчайших ДНФ.

Наша задача состоит в том, чтобы описать метод построения минимальной ДНФ, эквивалентной заданной булевой функции. Мы рассмотрим простейший метод такого рода, основанные на алгоритме Квайна - Мак-Клоски. Этот алгоритм исходит обязательно из СДНФ, которая строится по таблице функции так, как это было описано ранее (см. 6.5).

Опишем последовательно этапы, составляющие алгоритм Квайна - Мак-Клоски.

1. Склейка. Пусть К₁ и К₂ - две элементарные конъюнкции, входящие в исходную СДНФ Ф, которая представляет функцию f, причем для некоторого переменного х и некоторой элементарной конъюнкции К выполняются равенства К₁ = хК и К₂ = xК.

Тогда имеем, согласно тождествам булевой алгебры,

К₁ ∨ К₂ = xK ∨ xK = (x ∨ x)K = K.

Мы получаем элементарную конъюнкцию К, которая содержит на один литерал меньше, чем К₁ и К₂, и является, как и обе конъюнкции К₁ и К₂, импликантой f. Образно говоря, мы "склеили" две импликанты в одну, в которой число литералов на единицу меньше.

Операцию получения К по К₁ и К₂, описанную выше, можно провести и для любых двух элементарных конъюнкций подобного вида, составляющих любую ДНФ, эквивалентную исходной функции. Такую операцию называют простой склейкой импликант К₁ и К₂ по переменному х.

Установим геометрический смысл простой склейки* (с точки зрения структуры, или "геометрии", булева куба, см. 6.1).

Из доказательства теоремы о представлении булевой функции в виде ДНФ (см. теорему 6.2) мы знаем, что существует взаимно однозначное соответствие между множеством элементарных конъюнкций СДНФ, представляющей функцию f, и множеством С^1f ее конституент единицы. Это соответствие, напомним, таково, что каждому набору α˜ = (α₁, ..., α_n) ∈ С^1f , отвечает элементарная конъюнкция К_α˜ = x^α₁1 ⋅...⋅ x^α_nn , принимающая значение 1 только на наборе α˜. Тогда простая склейка может быть применена только к таким двум элементарным конъюнкциям К_α˜ и К_β˜, соответствующим наборам α˜, β˜ ∈ С^1f, что для некоторого i = (1 ≤ i ≤ n)

α˜ = (α₁, ..., α_i-1, α_i, α_i+1, ..., α_n),

β˜ = (α₁, ..., α_i-1, α_i, α_i+1, ..., α_n).

Это значит, что наборы α˜, β˜ таковы, что один из них доминирует над другим (они различаются значением только одной компоненты), т.е. они образуют ребро булева куба Bⁿ.

Следовательно, простой склейке, применяемой к элементарным конъюнкциям исходной СДНФ, представляющей функцию f, подлежат те и только те элементарные конъюнкции, которые соответствуют элементам какого-либо ребра булева куба, на котором функция f принимает единичное значение. Образно говоря, две соседние вершины куба, на которых функция равна 1, "склеиваются" в ребро, их "соединяющее".

С алгебраической же точки зрения мы из двух элементарных конъюнкций К_α˜ и К_β˜ получаем новую элементарную конъюнкцию x^α₁1 ... x^α_i-1i-1 x^α_i+1i+1 ... x^α_nn , лишенную литерала x^α_ii .

*подробно о геометрической сути минимизации см.: Яблонский С.В.

Итак, применяя простую склейку к исходной СДНФ Ф, получаем новую ДНФ Ф₁; к ней также применяем простую склейку - получаем ДНФ Ф₂; продолжаем выполнять эту операцию до тех пор, пока не окажется, что для некоторого k в ДНФ Ф_k уже нельзя склеить никакие две элементарные конъюнкции. Такое k всегда найдется, так как СДНФ Ф состоит из конечного числа элементарных конъюнкций, а они, в свою очередь, состоят из конечного числа литералов. Полученную в результате ДНФ Ф_k называют сокращенной ДНФ функции f, а ее элементарные конъюнкции - простыми импликантами булевой функции f.

Замечание 6.8. Понятие простой импликанты определено через процедуру многократного повторения простой склейки. Иногда простую импликанту булевой функции f определяют независимо от понятия о склейке как такую элементарную конъюнкцию в составе некоторой ДНФ, представляющей функцию f, что удаление из нее любого литерала лишает ее свойства "быть импликантой". Например, конъюнкция х₁х₂x₃ не является простой импликантой мажоритарной функции, так как из ее СДНФ (6.9) можно удалить литерал x₃ и получить конъюнкцию х₁х₂, которая будет снова импликантой функции, но уже, как будет показано далее, простой.

Можно доказать, что эти два определения простой импликанты равносильны. #

Геометрия описанного выше многократного повторения простой склейки, как можно показать, состоит в дальнейшем "склеивании" каждой пары соседних ребер (граней размерности 1), на которых значение функции равно 1, в грани размерности 2, соседних граней размерности 2 в грани размерности 3 и т.д. Разбираемый ниже пример поясняет эту идею.

Пример 6.11. Зададим функцию f от трех переменных следующей СДНФ:

f = x₁x₂x₃ ∨ x₁x₂х₃ ∨ х₁x₂x₃ ∨ х₁x₂х₃.    (6.11)

Подвергнем простой склейке первую и третью, а также вторую и четвертую элементарные конъюнкции в (6.11):

f = x₂x₃ ∨ x₂x₃     (6.12)

С геометрической точки зрения склейка первой и третьей конъюнкций в формуле (6.11) означает, что функция f принимает единичное значение на ребре [000, 100] (рис. 6.6), а склейка второй и четвертой конъюнкций точно так же определяет ребро [001, 101). Эти ребра являются соседними, и, кроме того, оказывается, что функция f принимает единичное значение и на другой паре соседних ребер: [000, 001] и [100, 101]. Здесь сказывается существенное отличие "геометрии" булева куба от классической: в булевом кубе ребро - это пара вершин, между которыми нет никаких "точек". Тогда любая пара соседних ребер образует грань размерности 2, любая пара соседних граней размерности 2 образует грань размерности 3 и т.д. Таким образом, если функция принимает единичное значение на двух соседних ребрах булева куба, то она равна 1 в любой точке образуемой ими грани размерности 2, если она равна 1 на двух параллельных соседних гранях размерности 2, то она равна 1 на соответствующей грани размерности 3 и т.д.

Применяя простую склейку к (6.12) (по переменному х₃), получаем f(х₁,х₂,х₃) = x₂. Побочным результатом склейки явилось и удаление фиктивных переменных функции х₁ и х₃.

Пример 6.12. Рассмотрим СДНФ мажоритарной функции (6.9).

Имеем следующие склейки:

x₁х₂х₃ ∨ х₁х₂х₃ = х₂х₃,

х₁x₂х₃ ∨ х₁х₂х₃ = х₁х₃,

х₁х₂x₃ ∨ х₁х₂х₃ = х₁х₂.

В данном случае сразу получаем сокращенную ДНФ:

Ф₁ = x₁x₂ ∨ x₁x₃ ∨ x₂x₃. #

Для булевых функций от трех и четырех переменных процедура склейки наглядно и просто выполняется на так называемых картах Карно. Форма карт Карно, представляющих собой прямоугольные таблицы, для функции от трех переменных показана на рис. 6.7, а для функции от четырех переменныхна рис. 6.8. На рис. 6.7 строки отмечены наборами значений переменного х₁, а столбцы - х₂, х₃, а на рис. 6.8 строки - наборами значений переменных х₁, х₂, а столбцы - х₃, x₄.

Карта Карно есть не что иное, как форма таблицы для определения булевой функции. Каждая клетка карты задается своим набором значений переменных, причем в клетках, соответствующих конституентам единицы данной функции, ставится единица, тог да как остальные клетки остаются пустыми. Карта Карно устроена так, что наборы, определяющие любые две соседние клетки, различаются в точности в одной позиции (т.е. различаются значениями ровно одной компоненты), причем клетки (одной и той же строки или одного и того же столбца), примыкающие к противоположным сторонам прямоугольника, также являются соседними в только что определенном смысле. Это можно представить себе так, что карта "закручивается" в "цилиндр" по обоим направлениям, т.е. в "тор".

С геометрической точки зрения карта Карно есть способ изображения булева куба (размерностей 3 и 4)*. Любая пара соседних клеток (с учетом "закрученности" карты) определяет некоторое ребро булева куба, а любой прямоугольник, состоящий из 2^k клеток (или, как говорят, прямоугольник с площадью 2^k) для некоторого k, определяет грань размерности k.

Пусть булева функция f задана таблицей, представленной в форме карты Карно. Описанный выше итерационный процесс склейки, в результате которого получается сокращенная ДНФ, представляющая функцию f, проводится на карте Карно так: любые две соседние клетки, содержащие единицы, обводятся, и "поглотивший" их прямоугольник (он и есть обозначение результата склейки на карте) представляется словом, содержащим "0" , "1" и "×" ("крестик"), причем "крестик" занимает позицию того переменного, по которому произведена склейка (рис. 6.9).

С геометрической точки зрения такой прямоугольник площади 2 соответствует ребру булева куба, в каждой вершине которого функция принимает значение 1. Запись прямоугольника в виде слова можно понимать как обозначение соответствующего ребра. Так, на карте, показанной на рис. 6.9, прямоугольник 11× обозначает ребро [110, 111], прямоугольники же 1×1 и ×11 - ребра [101, 111] и [011, 111] соответственно.

* Можно построить карты Карно и для размерностей 5 и 6, но они используются весьма редко. Может быть построена и простейшая карта Карно для функции от двух переменных, но для таких функций не возникает нетривиальных задач построения минимальной ДНФ.

По таким обозначениям легко получить и ту импликанту, которая является результатом простой склейки: для этого достаточно записать литерал x_i (соответственно x_i), eсли в i-й позиции стоит 1 (соответственно 0), и пропустить литерал x_i, если в i-й позиции стоит "крестик". Так, по слову 1×O получим импликанту x₁x₃.

Наличие на карте Карно двух прямоугольников площади 2, находящихся в соседних столбцах или строках, показывает, что функция принимает значение 1 на некоторой паре соседних ребер, т.е. на некоторой грани размерности 2. Тогда они могут быть объединены в один большой прямоугольник площади 4 (рис. 6.10).

Этот прямоугольник можно записать в виде слова ×0×, показывая тем самым, что соответствующая грань (размерности 2) образована любой из двух пар соседних ребер: (×00, ×01) (два вертикальных прямоугольника площади 2) или (00×, 10×) (два горизонтальных прямоугольника площади 2).

Точно так же можно объединять в один прямоугольник площади 8 два соседних прямоугольника площади 4 (рис. 6.11).

Если такие большие прямоугольники находить сразу, то "поглощаемые" ими меньшие прямоугольники уже не рассматриваются. Тем самым, находя на карте Карно прямоугольники максимальной площади и не содержащиеся друг в друге, мы находим грани максимальных размерностей и максимальные по включению, такие, на которых заданная функция принимает единичное значение. Поскольку грань размерности k имеет 2^k вершин, то выделяемые описанным способом прямоугольники могут состоять только из 2^k клеток (для некоторого k, не превышающего числа переменных). Так, на карте, приведенной на рис. 6.12, получим два прямоугольника площади 4: ×0×0 и 0×0×, соответствующие граням размерности 2, и один прямоугольник 01×1, отвечающий ребру, которое не содержится ни в одной из указанных выше граней. Подчеркнем еще раз, что соседство клеток, прямоугольников и само выделение прямоугольников на карте Карно производится с учетом ее "закрученности". В этой связи интересен "прямоугольник" на карте, приведенной на рис. 6.12, обозначенный ×0×0. Он образован двумя парами противоположных угловых клеток.

Таким образом, если на карте Карно сразу выделять все максимальные (в указанном выше смысле) прямоугольники площади 2^k (для некоторого k ≥ 0 и не превышающего числа переменных), то тем самым мы "геометрически" реализуем описанный ранее алгебраический итерационный процесс склейки и в результате получаем все простые импликанты исходной функции (составляющие сокращенную ДНФ). Эти импликанты восстанавливаются по записям прямоугольников точно так же, как описано выше для простой склейки. Так, для карты, приведенной на рис. 6.12, получим сокращенную ДНФ в виде x₂x₄ ∨ x₁x₃ ∨ x₁x₂x₄.

2. Определение ядра. Говорят, что элементарная конъюнкция К покрывает элементарную конъюнкцию L (и пишут К ≻ L), если любой литерал, входящий в К, входит в L. Так, x₁x₂ ≻ x₁x₂x₃, x₁x₃ ≻ x₁x₂x₃, но x₁x₃ ⊁ x₁x₂x₃, поскольку вторая конъюнкция содержит литерал x₃, отсутствующий в первой конъюнкции. Легко понять, что если К ≻ L, то К ∨ L = К (согласно тождествам поглощения).

Каждая входящая в сокращенную ДНФ простая импликанта покрывает некоторую элементарную конъюнкцию исходной СДНФ. На карте Карно этому отвечает прямоугольник, "закрывающий" соответствующую единицу.

Простую импликанту называют ядровой, если она покрывает некоторую элементарную конъюнкцию исходной СДНФ, не покрываемую никакой другой простой импликантой. На карте Карно прямоугольник, соответствующий ядровой импликанте, отыскивается очень просто: это такой прямоугольник, удалив который получим единицу, не закрытую никаким другим прямоугольником. Тог да ни одна ядровая импликанта не может быть удалена из искомой минимальной ДНФ исходной функции, т.е. все ядровые импликанты обязательно войдут в минимальную ДНФ.

Множество всех ядровых импликант (склеек) сокращенной ДНФ называют ядром.

Пример 6.13. а. У мажоритарной функции все импликанты являются ядровыми. Напротив, у функции, изображенной на карте Карно на рис. 6.13, ядро пусто, т.е. ядровых импликант нет вовсе.

б. На карте Карно на рис. 6.14 в ядро попадают склейки 0××1, 0×1×, 1×00. #

Если все простые импликанты оказались в ядре, то сокращенная ДНФ и есть еди нственная минимальная и кратчайшая ДНФ для данной функции. Именно так обстоит дело с мажоритарной функцией (см. пример 6.12). В противном случае смотрят, не эквивалентна ли ДНФ, построенная как дизъюнкция всех ядровых импликант, исходной СДНФ. Это будет иметь место тогда и только тогда, когда ядровые импликанты покрывают в совокупности все элементарные конъюнкции исходной СДНФ. На карте Карно тогда каждая клетка, содержащая единицу, должна быть закрыта прямоугольником, отвечающим некоторой ядровой импликанте. Если это так, то ДНФ, построенная по ядру, как описано выше, есть минимальная и кратчайшая (склейки ядра закрыли все единицы карты Карно). При этом импликанты, не попавшие в ядро, все оказываются "избыточными", т.е. их удаление из сокращенной ДНФ не приводит к нарушению эквивалентности этой последней с исходной СДНФ.

В остальных случаях переходят к отысканию так называемых тупиковых ДНФ.

3. Перечисление тупиковых ДНФ. Простую импликанту называют избыточной (относительно некоторой ДНФ, содержащей только простые импликанты и эквивалентной исходной СДНФ), если ее можно удалить из этой ДНФ без потери эквивалентности ее исходной СДНФ. Так, сокращенная ДНФ (см. рис. 6.14) содержит избыточные импликанты: импликанта, соответствующая прямоугольнику 10 × 0, или импликанта, соответствующая прямоугольнику ×010, может быть удалена (но не обе сразу!). Это значит, что каждая из этих импликант является избыточной относительно сокращенной ДНФ, но удаление одной из них приводит к новой ДНФ, относительно которой вторая из упомянутых импликант уже не будет избыточной. В том случае, когда каждую элементарную конъюнкцию исходной СДНФ покрывает некоторая ядровая импликанта, импликанты, не вошедшие в ядро, можно удалить одновременно.

Тогда можно представить процесс пошагового удаления избыточных импликант, начиная с сокращенной ДНФ, в результате которого получится некоторая ДНФ, уже не содержащая ни одной избыточной склейки.

Любую ДНФ, эквивалентную исходной СДНФ, содержащую все ядровые импликанты и не содержащую ни одной избыточной импликанты, называют тупиковой.

Заметим, что в силу конечности множества всех импликант тупиковая ДНФ обязательно существует, т.е. в упомянутом выше процессе мы рано или поздно доберемся до такого момента, когда удаление хотя бы одной склейки приведет к тому, что "откроется" какая-то единичная клетка на карте Карно и тем самым будет потеряна эквивалентность полученной таким образом ДНФ исходной СДНФ.

Для СДНФ, карта Карно которой приведена на рис. 6.14, имеются две тупиковые ДНФ:

x₁x₄ ∨ x₁x₃ ∨ x₁x₃ ⋅ x₄ ∨ x₂x₃x₄, x₁x₄ ∨ x₁x₃ ∨ x₁x₃ ⋅ x₄ ∨ x₁x₂ ⋅ x₄.

Первые три конъюнкции соответствуют ядру.

В общем случае для перечисления всех тупиковых ДНФ может быть использован следующий алгоритм. Мы изложим его в терминах карт Карно и, допуская вольность речи, будем отождествлять максимальные прямоугольники на карте Карно с соответствующими простыми импликантами.

Присвоим каждой простой импликанте сокращенной ДНФ некоторое имя: т.е. обозначим их, например, как К¹, К², ..., К^m. Для любой единицы карты Карно, не покрываемой ядром, перечислим все простые импликанты, которые ее покрывают, записав их в виде элементарной дизъюнкции, в которой переменными считаются введенные выше имена простых импликант. Переменное, именующее данную простую импликанту, при нимает, по определению, значение 1, если данная простая импликанта выбирается для покрытия рассматриваемой единицы карты Карно.

Записав все элементарные дизъюнкции, составим из них КНФ. Рассмотрим карту Карно на рис. 6.13. Обозначив

К¹ = х¹x² (10×),    К² = x²х³ (01×),    К³ = x¹х³ (0×1), К⁴ = x¹x² (01×),        , К⁵ = х²x³ (×10),    К⁶ = х¹x³ (1×0),

получим

(К₁ ∨ К₆) ∧ (К₁ ∨ К₂) ∧ (К₂ ∨ К₃) ∧ Л (К₃ ∨ К₄) ∧ (К₄ ∨ K₅) ∧ (K₅ ∨ К₆).     (6.13)

Тем самым мы образуем вспомогательную функцию (представленную КНФ вида (6.13)), называемую фунпцuей Патрика. Раскрывая скобки в КНФ (6.13) и используя тождества булевой алгебры (в частности, тождество поглощения), получим ДНФ, в которой каждая элементарная конъюнкция соответствует некоторой тупиковой ДНФ и, наоборот, каждой тупиковой ДНФ может быть сопоставлена одна из этих конъюнкций.

Для нашего примера поступим так: вычислим конъюнкцию первой и второй скобки в выражении (6.13), а также третьей и четвертой, пятой и шестой скобок, после чего получим

(K₁ ∨ K₁K₂ ∨ K₆K₁ ∨ K₆K₂) ∨ (K₂K₃ ∨ K₂K₄ ∨ K₃ ∨ K₃K₄) ∨ (K₄K₅ ∨ K₄K₆ ∨ K₅ ∨ K₅K₆).     (6.14)

Используя тождества поглощения, в первой скобке в формуле (6.14) мы можем удалить все члены, содержащие К₁, во второй скобке - все члены, содержащие К₃, в третьей скобке - все члены, содержащие К₅. Проделав это, раскрыв все три скобки и применив еще раз поглощение, окончательно получим

K₁K₃K₅ ∨ K₁K₃K₄K₆ ∨ K₁K₂K₄K₅ ∨ K₂K₃K₅K₆ ∨ K₂K₄K₆.     (6.15)

Элементарные конъюнкции в (6.15) определяют тупиковые ДНФ. Более того, так как в данном случае отсутствуют ядровые импликанты, найденные конъюнкции исчерпывают тупиковые ДНФ. Первая тупиковая ДНФ состоит из конъюнкций К₁, К₃ и K₅, т.е. имеет вид

Точно так же определяются остальные тупиковые ДНФ. Обоснование описанного выше алгоритма может быть получено из следующих соображений. Функция Патрика, представленная КНФ, принимает значение 1 тогда и только тогда, когда каждая элементарная дизъюнкция принимает значение 1. А элементарная дизъюнкция принимает значение 1 в том и только в том случае, когда хотя бы одно ее переменное принимает значение 1. Согласно определению функции Патрика, это значит, что хотя бы одна простая импликанта выбрана для покрытия соответствующей единицы на карте Карно. Поскольку таким образом перебираются все не покрываемые ядром единицы карты Карно, то гарантируется эквивалентность искомой ДНФ исходной СДНФ. Однако, когда функция Патрика представлена ДНФ и мы выбираем в точности одну из ее элементарных конъюнкций, полагая, что все входящие в нее переменные равны 1, мы тем самым из всех возможных вариантов покрытия каждой единицы на карте Карно выбираем в точности один вариант. Значит, полученная в результате такого выбора ДНФ для исходной (минимизируемой) СДНФ действительно будет тупиковой.

Но нужно заметить, что перечисление тупиковых ДНФ является самым неприятным и трудоемким этапом всего алгоритма минимизации. Если число единичных клеток карты Карно, не покрываемых ядром, достаточно велико, то функция Патрика будет весьма сложной и ее упрощение сопоставимо по трудоемкости со всем процессом минимизации.

4. Отыскание среди тупиковых ДНФ кратчайших и минимальных. Среди найденных тупиковых ДНФ находят кратчайшие и минимальные. Можно легко показать, что минимальная ДНФ всегда является кратчайшей, но обратное неверно. Так, х₁х₂ ∨ х₁ = х₁ ∨ х₁ и первая ДНФ кратчайшая, но не минимальная. Действительно, легко сообразить, что вторая из записанных ДНФ минимальна. Следовательно, представляемую ею функцию нельзя представить ДНФ, содержащей менее двух элементарных конъюнкций. Но в первой ДНФ три литерала, а во второй - два. Из пяти тупиковых ДНФ, соответствующих функции Патрика (6.15), кратчайшими являются две. Каждая из них минимальна, так как обе они имеют одинаковое число литералов.

Пример 6.14. Рассмотрим карту Карно на рис. 6.15.

В результате проведения склейки получим следующую сокращенную ДНФ*:

x₁x₃ ∨ x₁x₂ ∨ x₂x₄ ∨ x₂x₃ ∨ x₃x₄ ∨ x₁x₂x₄ ∨ x₁x₂x₃ ∨ x₁x₃x₄

Ядро составляют склейки (простые импликанты) x₁x₃ и x₁x₂.

Шесть клеток, содержащих единицу, на карте Карно остаются непокрытыми ядровыми склейками. Для неядровых склеек (обозначенных К¹, ..., К⁶) составляем функцию Патрика в виде

(K₃ ∨ K₄)(K₄ ∨ K₅)(K₅ ∨ K₆)(K₁ ∨ K₂)(K₂ ∨ K₃)(K₁ ∨ K₆)

Преобразуя ее аналогично функции (6.13), получаем

K₁K₃K₅ ∨ K₂K₄K₆ ∨ K₂K₃K₅K₆ ∨ K₁K₂K₄K₅ ∨ K₁K₃K₄K₆.

Имеем, следовательно, пять тупиковых ДНФ. Запишем их, для наглядности, так:

Из этих пяти тупиковых ДНФ кратчайшими являются первая и вторая. Из них, в свою очередь, минимальной является первая, так как она содержит на один литерал меньше.

В итоге получаем минимальную ДНФ в виде

x₁x₃ ∨ x₁x₂ ∨ x₂x₄ ∨ x₃x₄ ∨ x₁x₂x₃.

* Обратим еще раз внимание на то, что каждый выделяемый прямоугольник на карте Карно имеет площадь, равную некоторой степени двойки. Поэтому, например, три соседние единичные клетки не могут быть объединены в один прямоугольник, а их "накроют" два прямоугольника площадью 2, пересекающиеся по одной клетке.

В данном случае минимальная ДНФ оказалась единственной, хотя, как это мы видели в ранее разобранных примерах, в общем случае могут существовать несколько минимальных ДНФ. #

Техника карт Карно является удобным и наглядным (при определенных ограничениях на число переменных минимизируемой функции) способом реализации алгоритма Квайна - Мак-Клоски. Но существуют и другие способы проведения склейки, т.е. получения сокращенной ДНФ для исходной функции. Одним из таких способов является чисто алгебраический метод Блейка, состоящий в том, что к любой ДНФ, представляющей функцию, применяются следующие тождества:

Первое из тождеств (6.16) называют тождеством (или правилом) обобщенного склеивания, второе - тождеством (или правилом) nоглощения.

Технология" использования метода Блейка такова: применяют тождество обобщенного склеивания до тех пор, пока не перестанут появляться новые элементарные конъюнкции (вида К₁К₂). После этого применяют тождество поглощения*.

* См.: Гавршов Г.П., Сапожекко А.А.

Как только сокращенная ДНФ тем или иным способом найдена, приступают к нахождению ядра. Ядро можно определить (без использования карты Карно) с помощью так называемой таблицы Квайна. Столбцы этой таблицы соответствуют элементарным конъюнкциям исходной СДНФ, а строки - простым импликантам сокращенной ДНФ. На пересечении строки и столбца проставляется знак "+" (плюс), если простая импликанта данной строки покрывает элементарную конъюнкцию данного столбца. Ядро вычисляется так: отмечаем столбцы с единственным знаком "+", тогда простые импликанты тех и только тех строк, в которые попал этот знак, образуют ядро.

Для примера 6.13.б (см. рис. 6.14) получим таблицу Квайна, изображенную на рис. 6.16.

(В целях экономии места элементарные конъюнкции в таблице заменены цифровыми обозначениями соответствующих вершин и граней булева куба - точно так же как при обозначении прямоугольников на картах Карно. Ядровые импликанты выделены жирным шрифтом.)

По таблице Квайна можно составить и функцию Патрика для перечисления тупиковых ДНФ. Для этого нужно отметить все столбцы таблицы, в которых на пересечении со строками, соответствующими ядровым импликантам, не стоит знак "+". Для разбираемого примера таковым является только последний столбец. Чтобы покрыть соответствующую элементарную конъюнкцию СДНФ, можно выбрать одну из двух простых импликант: х₁x₁x₁ или x₂x₃x₄.

В заключение рассмотрим очень кратко применение карт Карно к построению минимальных ДНФ частичных булевых функций, т.е. частичных отображений из множества {0, 1}ⁿ в множество {0, 1}.

Частичная булева функция может быть задана посредством карты Карно, в которой кроме клеток с единицами и пустых клеток будут клетки, заполненные прочерками (-). Такой прочерк означает, что на соответствующем наборе функция не определена.

Склейка для частичной функции (заданной картой Карно) проводится таким образом, что выделяются прямоугольники максимальной площади (содержащие 2^k клеток, для некоторого k), каждая клетка которых содержит либо единицу, либо прочерк, причем существует по крайней мере одна единичная клетка.

Пример 6.15. Пусть частичная функция f(х1,х2,х3) задана картой Карно, приведенной на рис. 6.17. Прямоугольник максимальной площади (равной 4), состоящий из единицы и прочерков, записывается как 0××. Следовательно, минимальная ДНФ для заданной функции будет x1. #

По поводу рассмотренного примера возникает такой вопрос: почему не принят во внимание другой прямоугольник (площади 2), содержащий клетку с единицей и клетку с прочерком: х00? Связано это вот с чем. Перед тем как выделять упомянутые вьппе прямоугольники, мы на самом деле доопределяем исходную частичную функцию (получая обычную булеву функцию) так, чтобы в максимальном числе клеток, в которых стоят прочерки (но не нули!), появились единицы. Точнее говоря, среди прямоугольников (с прочерками), содержащих данную единицу, выбирают для замены прочерков единицами такой, который имеет максимальную площадь. Прочерки же в остальных прямоугольниках заменяют нулями.

В примере 6.15 мы доопределяем исходную функцию так, что получается функция f₁, задаваемая картой Карно, приведенной на рис. 6.18. Эта функция имеет минимальную ДНФ x₁. Следовательно, и частичная исходная функция может быть представлена такой ДНФ, поскольку на всех наборах, на которых она определена, она принимает такое же значение, как и функция f₁.

Конечно, мы могли бы доопределить функцию f по-другому, так, чтобы получилась функция f₂, заданная картой Карно, приведенной на рис. 6.19. Ясно, что f₂ = х₂х₃, поэтому и частичная функция f может быть определена такой ДНФ. Но эта ДНФ не минимальна для данной частичной (именно частичной!) функции, поскольку первый способ доопределения дал ДНФ, содержащую лишь один литерал.

Таким образом, в отличие от минимизации булевых функций при минимизации частичных булевых функций не следует выделять все максимальные прямоугольники с прочерками, содержащие данную единичную клетку карты Карно, достаточно выбрать произвольно любой из таких прямоугольников. Но, конечно, не нужно забывать о том, что каждая единица на карте должна быть покрыта некоторой склейкой.

Пример 6.16. Для карты на рис. 6.20 следует взять обе склейки на четыре позиции: 00×× и ××00, получив для заданной этой картой частичной функции минимальную ДНФ в виде x₁x₂ ∨ x₃x₄.

Заметим, что без использования склеек с прочерками мы вообще не могли бы минимизировать данную функцию. Нужно также отметить, что не всегда использование "частичности" функции позволяет получить минимальную ДНФ для нее. Так, на представленной на рис. 6.20 карте в случае, если мы переместим нижнюю единицу на строку выше, обычная склейка на две позиции дает лучший результат: x1x3x4, а записанная выше ДНФ уже не будет минимальной (и даже кратчайшей).