Вопросы и задачи

4.1. Показать, что отношение ≤ на носителе поля F является отношением линейного порядка, т.е. для любых двух элементов a, b ∈ F имеет место а ≤ b или b ≤ a.

4.2. Доказать следующие изоморфизмы: Bⁿ ≅ D_q1...qn ≅ S_A, где q₁, ..., q_n — попарно различные простые числа, а |А| = n.

4.3. Установить, сохраняет ли отношение, введенное в примере 4.4.а, на множестве ℤ отношение делимости: m | n (m делит n).

4.4. На множестве всех отображений множества М в себя определено отношение τ: f τ g, если и только если R(f) = R(d).

*Об использовании понятия многосортной алгебры в программировании см.: Гоген Дж.А., Мезегер Ж.

Доказать, что в общем случае это отношение, будучи эквивалентностью, не является конгруэнцией относительно композиции отношений. Построить пример.

4.5. Имеет ли место изоморфизм ℤ^nk ≅ ℤ_kⁿ?

4.6. Определить группы движений цилиндра и тора, рассуждая так же, как и при решении задачи 2.20. Доказать, что первая изоморфна группе ℝ²/ℤ, а вторая — ℝ²/ℤ² ≅ (ℝ/ℤ)² ≅ S¹ × S¹.

4.7. Доказать, что полукольцо бинарных отношений на n-элементном множестве {a₁, ..., a_n} изоморфно полукольцу квадратных матриц порядка n над полукольцом В.

4.8. Найти все разложения булевой алгебры В³ в виде

В³ ≅ В³ × В² ≅ В² × В.

4.9. Доказать, что любой гомоморфный образ решетки, диаграмма Хассе которой изображена на рис. 4.5, изоморфен либо ей самой, либо одноэлементной решетке.

4.10. Найти все гомоморфные образы решетки, диаграмма Хассе которой изображена на рис. 3.5, которые не изоморфны ей самой, а также не изоморфны одноэлементной решетке.