Об одном парадоксе теории множеств

Задавая с помощью коллективизирующих свойств множества, следует иметь в виду, что не каждое высказывание определяет коллективизирующее свойство. Попробуем определить множество Y = {X: X ∉ X} — множество всех множеств, не являющихся элементами самих себя. Это множество не пусто. Те "нормальные" множества, с которыми мы привыкли иметь дело, например числовые, как раз не являются элемента- ми самих себя: множество ℝ всех действительных чисел не есть действительное число! Однако попытка определить множество всех множеств, которые не являются элементами самих себя, приводит к противоречию. В самом деле, пусть У не является элементом самого себя, т.е. У ∉ У. Тогда, поскольку Y есть множество всех множеств, не являющихся элементами самих себя, Y ∈ У. В то же время, если Y ∈ У, оно должно обладать свойством, которое указано в определении У как коллективизирующее, т.е. должно выполняться Y ∉ Y. Следовательно, мы доказали, что У ∉ У ⇔ У ∈ У! Это противоречие показывает, что высказывание о множествах X ∉ X не задает коллективизирующее свойство.

Указанный парадокс, называемый парадоксом Рассела, приводится иногда в такой "сказочно-шутливой" редакции: „В некоторой деревне живет брадобрей, который по долгу службы должен брить тех и только тех, кто не бреет себя сам". Брадобрей оказывается в незавидном положении: если он не будет себя брить, то тотчас окажется, что он должен себя брить, а следуя неумолимой инструкции, он немедленно должен прекратить бриться, ибо он будет брить себя сам, что запрещено.

Парадокс Рассела показывает, что интуитивное понимание множества и коллективизирующего свойства позволяет трактовать идею множества настолько широко и расплывчато, что может привести к противоречиям.

Замечание 1.8. Не следует путать высказывание, определяющее пустое множество (например, пх есть четное число, не делящееся на два"), и высказывание, не задающее коллективизирующего свойства. Первое коллективизирует, определяя пустое множество, а второе приводит к противоречию, не определяя никакого множества, в том числе и пустого. #

Обсуждение возможных путей выхода из противоречий, подобных парадоксу Рассела, не является предметом данного учебника*. Мы же только заметим, что ввиду парадокса Рассела мы не можем мыслить конструкции, подобные множеству всех множеств, которые не являются элементами самих себя, в законченном виде, т.е. считать, что нам сразу, одновременно представлены в наличии все мыслимые множества указанного вида. Вместо этого следует представлять себе процесс (обратим внимание на это слово!) порождения новых множеств (назовем их допустимыми), исходя из определенного набора „исходных" допустимых множеств. К ним, в частности, можно отнести известные числовые множества, все конечные множества. Важно понимать также, что указанный выше процесс никак не влияет на „объем" уже имеющихся допустимых множеств: все они жестко зафиксированы и „состав" их элементов никак не меняется. Всякое уже имеющееся допустимое множество всегда „равно самому себе". Но совокупность всех допустимых множеств меняется при порождении новых допустимых множеств из уже имеющихся, и именно поэтому она не может считаться множеством, ибо состав ее элементов не зафиксирован.

Считая, что исходные допустимые множества как-то заданы, мы должны регламентировать операции, которые п позволяют из уже имеющихся допустимых множеств строить новые допустимые множества.

Такими операциями являются рассмотренные в главе 1 операции над множествами, в частности образование неупорядоченной и упорядоченной пары, булеана и фактор-множества.