Мощность множества

Некоторые сведения о мощности множества приведены в [I]. Здесь мы рассмотрим это понятие более подробно.

Множество А равномощно множеству И, если существует биекцил f:A→B.

Из того, что существует биекция f:A→B, следует, что соответствие f^-1 есть биекция В на А (см. 1,4). Поэтому если А равномощно В, то и В равномощно A, и мы можем говорить, что множества АиВ равномощны.

Факт равномощности множеств А и В будем записывать так: А~В.

Из определения равномощности и свойств биекции также следует, что для любого множества А имеет место А ~ А (тождественное отображение есть биекция множества А на себя); а для любых множеств А, В, С из А~В и В~С следует А~С (композиция биекций есть биекция).

Таким образом, отношение равномощности множеств есть отношение эквивалентности*, заданное на „множестве всех множеств" (на самом деле на множестве всех подмножеств некоторого универсального множества).

*Зачастую в литературе по теории множеств равномощные множества и называют „эквивалентными множествами". Однако следует различать общее понятие отношения эквивалентности и его частный случаи — эквивалентность, или равномощность, множеств.

Если мы обозначим через |А| класс эквивалентности множества А по отношению ~, то утверждение о равномощности множеств Аи В можно записать так: |А| = |В|.

Этот класс эквивалентности |А| называют мощностью множества А.

Конечные множества А = {а₁,.., а_n} и В = {b₁ ,..., b_n} равномощны тогда и только тогда, когда множества А и В состоят из одного и того же числа элементов, т.е. n = m. Отсюда, в частности, следует, что конечное множество не является номощным никакому своему собственному подмножеству. Это свойство конечных множеств можно сформулировать так.

Теорема 1.8. Если А — конечное множество и f:A→B → А — инъекция, то она является сюръекцией и, следовательно, биекцией. #

В силу приведенных выше соображений мощностью конечного множества А = {а₁,.., а_n} можно считать натуральное число n, так как, задавая такое число, мы задаем и класс всех (попарно равномощных) множеств вида {а₁,.., а_n}. Обратно, каждый такой класс однозначно определяет натуральное число п как число элементов в каждом множестве данного класса. Естественно считается, что мощность пустого множества равна нулю.

Перейдем теперь к исследованию мощности бесконечных множеств. Таковы хорошо известные нам числовые множества ℕ, ℤ, ℚ, ℝ и ℂ.

Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают ℵ₀ (читается „алеф нуль").

Любую биекцию v: ℕ → М называют нумерацией счетного множества М; если элемент М есть v(n) для некоторого n ∈ ℕ, то этот элемент М обозначаем через a_n, называя туральное число n номером элемента a_n относительно данной нумерации v.

Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а₁,.., а_n, ... или {a_n}_n∈ℕ Другими словами, счетное множество есть область значений некоторой функции натурального аргумента.

Пример 1.21. а. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию v можно задать так: v(n) = 2n — 1,

б. Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число k ≥ 2, счетно. Нумерацию v можно задать так: v(n) = kn, n∈ℕ. В частности, при k = 2 получаем, что множество всех четных чисел счетно. Этот и предыдущий примеры показывают, что бесконечное (счетное) множество может иметь собственное равномощное ему подмножество.

в. Множество ℤ всех целых чисел счетно. Нумерацию можно установить так:

Рассмотрим свойства счетных множеств.

Теорема 1.9. Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

◀ Пусть М₀ — бесконечное множество. Значит, оно не пусто и существует элемент а₁ ∈ М₀. Положим М₁ = М₀ \ {a₁}. Множество М₁ не пусто, так как в противном случае имело бы место равенство М₀ = {a_i}, что противоречит предположению о бесконечности М₀. Выберем элемент а₂ ∈ М₁ и положим М₂ = М₁ \ {а₂} = М₀ \ {a₁, а₂}. Множество М₂ также не пусто, поскольку иначе мы бы имели М₀ = {a₁, а₂} и множество было бы конечным.

Методом математической индукции можно показать, что для любого n ≥ 1 множество М_n = M₀ \ {a₁,..., a_n}, где а₁ ∈ М₀, ..., a_n ∈ М_n-1, не пусто. Тогда существует элемент a_n+1 ∈ М_n и a_n+1 ∉ M_n+1 = М_n \ {а_n+1}. Таким образом, все элементы a_n, n ∈ ℕ, попарно различны и множество {а_n:n ∈ ℕ} счетно, а его нумерация может быть задана так: v(n) = а_n.

Теорема 1.10. В любом бесконечном множестве можно выделить два не пересекающихся между собой счетных подмножества.

◀ Разобьем множество натуральных чисел на два подмножества: ℕ₁ = {n: n = 2k — 1, k ∈ ℕ} (множество нечетных чисел), и ℕ₂ = {n: n = 2k, k ∈ ℕ} (множество четных чисел). Оба эти множества счетны (см. пример 1.21).

Согласно теореме 1.9, бесконечное множество содержит некоторое счетное подмножество А. Пусть установлена некоторая его нумерация. Разобьем это подмножество на два подмножества: всех элементов с четными и всех элементов с нечетными номерами. По построению эти подмножества не пересекаются и являются счетными, поскольку счетны множества четных и нечетных чисел. >

Теорема 1.11. Любое подмножество счетного множества конечно или счетно.

◀ Пустое подмножество конечно по определению. Пусть М — счетное множество, а В — его некоторое непустое подмножество. Поскольку множество М счетно, можно считать, что задана некоторая его нумерация. Следовательно, каждый элемент подмножества В имеет свой номер. Запишем номера элементов множества В в порядке возрастания: i₁, ..., i_n, ...

Если среди них есть наибольший номер i_p, то подмножество В конечно. В противном случае получим счетное подмножество {a_i1, a_i2,..., a_in,...}, нумерация которого установлена так: v(n) = a_in.

Если множество конечно или счетно, его называют не более чем счетным. Семейство (А_i)_i∈I множеств называют не более чем счетным, если множество (индексов) I не более чем счетно.

Теорема 1.12. Объединение любого не более чем счетного семейства счетных множеств счетно.

<4 Пусть (А_i)_i∈I — конечное или счетное семейство счетных множеств. Рассмотрим сначала случай, когда множества А_i попарно не пересекаются.

В этом случае нумерация объединения конечного семейства счетных множеств может быть проведена по схеме, изображенной на рис. 1.14, а нумерация объединения счетного семейства счетных множеств — по схеме, приведенной на рис. 1.15.

Пусть теперь (А_n)_n∈ℕ — произвольное счетное семейство счетных множеств, т.е. множества А_i могут пересекаться. В этом случае, применяя указанные на рис. 1.14 и 1.15 схемы нумерации к конечному или счетному объединению счетных множеств, следует пропускать каждый раз элементы, которые уже получили номера. >

Полезно отметить также и следующий факт.

Теорема 1.13. Объединение конечного и счетного множеств счетно. #

Теорема 1.14. Пусть М — бесконечное множество, а N — его не более чем счетное подмножество. Если множество M\N бесконечно, то оно равномощно множеству М.

◀ По теореме 1.10 в множестве M\N, поскольку оно бесконечно, можно выбрать счетное подмножество N'. Ясно, что N∩N' = ∅. Множество N∪N' является счетным как объединение двух счетных множеств или объединение счетного и конечного множеств. Поэтому существует биекция f: N∪N' → N'. Поскольку (M\(N∪N'))∪(N∪N')=M, M\ (N∪N')∪N' = = M\N, то требуемую биекцию М на М\N строим так: на подмножестве М \ (N∪N'), общем для М \ N и М, эта биекция совпадает с тождественным отображением; на подмножестве N∪N' эта биекция есть биекция f. ▶

Следствие 1.1. Если М — бесконечное множество, а N — не более чем счетное множество, то М ~ М ∪ N.

Существуют бесконечные множества, не являющиеся счетными. Это вытекает из следующих рассуждений.

Рассмотрим множество всех последовательностей нулей и единиц, т.е. последовательностей вида {α₁,α₂, ...,α_n,...}, где α_i ∈ {0,1} для каждого i ≥ 1.

Обозначим множество таких „двоичных" последовательностей через {0,1}^ω.

Теорема 1.15 (теорема Кантора). Множество {0,1}^ω не есть счетное множество.

◀ Пусть множество {0,1}^ω счетное. Тогда существует биекция φ: ℕ → {0,1}^ω. Выпишем все последовательности φ(n):

φ(1) = {α₁₁,α₁₂, ...,α_1n,...},

φ(1) = {α₁₁,α₁₂, ...,α_1n,...},

...............................................................

φ(n) = {α_n1,α_n2, ...,α_nn,...},

...............................................................

Построим последовательность β = {β₁,..., β_n,...}: положим β_i = 1, если α_ii = 0, и β_i = 0, если α_ii = 1. Ясно, что эта последовательность не совпадает ни с одной из последовательностей φ(n), а это противоречит допущению, что любая последовательность из {0,1}^ω есть φ(k) для некоторого k.

Итак, ℕ не равномощно {0,1}^ω.

В то же время {0,1}^ω содержит подмножество последовательностей, в каждой из которых только один член отличен от нуля. Это подмножество равномощно множеству всех одноэлементных подмножеств ℕ и, следовательно, самому ℕ. Следовательно, множество {0,1}^ω бесконечно, но не равномощно счетному множеству и потому не является счетным. ▶

Теорема 1.16. Множество 2^ℕ всех подмножеств множества натуральных чисел и множество {0,1}^ω равномощны.

◀ Определим отображение φ множества 2^ℕ на множество {0,1}^ω следующим образом: если X ⊆ ℕ, то φ(Х)_i = 1 при i ∈ X и φ(Х)_i = 0 при i ∉ X.

Тем самым подмножеству X ставится в соответствие последовательность φ(Х), i-й член которой равен единице тогда и только тогда, когда число i есть элемент множества X. Докажем, что φ — биекция 2^ℕ на {0,1}^ω.

Покажем, что отображение φ — инъекция. Пусть X и Y — различные подмножества ℕ. Тогда найдется число i ∈ X \ Y или число j ∈ Y\X. В первом случае в последовательности φ(Х) i-й член будет равен единице, а в последовательности φ(Y) — нулю. Таким образом, φ(Х) ≠ φ(Y). Во втором случае φ(Y)_j = 1, φ(Х)_j = 0 и опять φ(Х) ≠ φ(Y). Следовательно, отображение φ — инъекция.

Покажем, что φ — сюръекция. Возьмем произвольную последовательность α ∈ {0,1}^ω. Образуем множество Х_α = = {i: α_i = 1}. Ясно, что φ(Х_α) = α. Таким образом, для любой последовательности α ∈ {0,1}^ω существует подмножество Х_α ∈ 2^ℕ, такое, что φ(Х_α) = α. Следовательно, φ — сюръекция.

Таким образом, мы показали, что φ — биекция, а множества 2^ℕ и {0,1}^ω равномощны. >

Мощность множества 2^ℕ обозначают с и называют мощностью континуума, а любое множество, эквивалентное множеству 2^ℕ, называют множеством мощности континуума или континуальным множеством.

Теорема 1.17. Множество действительных чисел отрезка [0,1] равномощно множеству всех последовательностей нулей и единиц {0,1}^ω.

◀ Каждое действительное число из отрезка [0,1] представим в виде бесконечной дроби в двоичной системе счисления. Число 1 представим в виде периодической дроби, содержащей бесконечное число единиц — 0,1(1). Конечные рациональные дроби представим как бесконечные, дополнив справа бесконечным числом нулей. Таким образом, каждое число из [0,1] представлено в виде последовательности нулей и единиц. Кроме этого, выбросим счетное множество всех периодических дробей вида O,α₀α₁...α_kO(1), поскольку каждая такая дробь представляет то же самое число, что и дробь O,α₀α₁...α_k1(0), где α_i ∈ {0,1} для всякого i = 1,k. Легко видеть, что полученное таким образом множество двоичных дробей равномощно множеству {0,1}^ω▶

Следствие 1.2. [0,1] ~ 2^ℕ.

◀ Выше была доказана равномощность множеств (0,1)^ω и 2^ℕ. Тогда имеем [0,1] ~ {0,1}^ω ~ 2^ℕ. ▶

Теорема 1.18. Следующие множества равномощны:

1. множество действительных чисел отрезка [0,1];
2. множество действительных чисел интервала (0,1);
3. множество действительных чисел отрезка [а, b];
4. множество действительных чисел интервала (а, b);
5. множество действительных чисел (числовая ось) ℝ;
6. множество всех подмножеств множества натуральных чисел 2^ℕ.

◀ Покажем равномощность множеств [0,1] и (0,1). Из множества действительных чисел отрезка [0,1] выделим двухэлементное подмножество {0,1}. Разностью этих множеств будет множество действительных чисел интервала (0,1), и, согласно теореме 1.14, [0,1] ~ (0,1).

Отображение у = (b — a)х + а задает биекцию множества [0,1] на множество [а, b]. Следовательно, эти множества номощны. Заметим, что аналогично доказывается равномощность (0,1) и (а, b).

Покажем, что (0,1) ~ ℝ. Биекцию можно установить, например, с помощью функции у = 1/πarctgx + 1/2.

Поскольку равномощность [0,1] и 2^ℕ ранее доказана, имеем

[0,1] ~ (0,1) ~ [а, b] ~ (а, b) ~ ℝ ~ 2^ℕ. ▶

Замечание 1.7. Заметим, что если в условиях теоремы 1.14 множество М несчетно, а N — его счетное подмножество, то множество M\N бесконечно, ибо иначе получилось бы, что множество М = (М \ N) U N счетно как объединение конечного и счетного множеств.

Таким образом, можно утверждать, что для любого несчетного множества М и его не более чем счетного подмножества N имеет место равенство |М \ N| = |М|. #

До сих пор речь шла о равенстве мощностей. Однако мощности разных множеств можно в определенном смысле сравнивать, говоря о большей или меньшей мощности.

Считают, что мощность множества А не превышает мощность множества В (|А| ≤ |В|), если А равномощно некоторому подмножеству множества В. Можно показать, что из соотношений |A| ≤ |В| и |В| ≤ |А| следует, что |A| = |B|.

Мощность множества А считается строго меньшей мощности множества В (|А| < |В|), если множества А и В мощны и существует собственное подмножество С множества В, равномощное множеству А, т.е. (А ≁ В) и (∃С ⊂ В)(А~С).

Можно доказать, что из |А| ≤ |В| и |В| ≤ |С| следует |А| ≤ |С|. Таким образом, на множестве всех мощностей (т.е. на множестве всех классов эквивалентности по отношению ~) установлено отношение порядка.

Из определения сразу следует, что мощность любого конечного множества строго меньше мощности Но, а из доказательства теоремы 1.15 вытекает, что ℵ₀ < с. Кроме того, согласно теореме 1.9, мощность счетного множества ℵ₀ является наименьшей на множестве всех бесконечных мощностей (т.е. мощностей бесконечных множеств). Можно сказать, что всякое бесконечное множество не менее чем счетно.

Без доказательства приведем две важные теоремы.

Теорема 1.19 (теорема Кантора — Бернштейна). Для любых двух множеств А и В имеет место в точности одно из следующих трех условий: либо |А| < |B|, либо |В| < |А|, либо |B| = |А| #

Таким образом, любые два множества сравнимы по мощности. Другими словами, „шкала мощностей" линейно упорядочена.

Теорема 1.20. Для любого множества А верно неравенство |2^ℕ| > |А|. #

В силу теоремы 1.20 нет наибольшей мощности, так как для любого множества А существует множество большей мощности — его булеан. Заметим, что для счетного множества А теорема 1.20 сводится к теореме Кантора 1.15.

Теорема 1.21 (теорема о квадрате). Для любого бесконечного множества М его декартов квадрат М × М мощен самому множеству М.

◀ Доказательство проведем для частных случаев счетного и континуального множеств.

Сначала обратимся к счетному множеству. Для доказательства утверждения достаточно показать, что ℕ × ℕ ~ ℕ, т.е. задать на ℕ × ℕ некоторую нумерацию. Рассмотрим множество A_i = {(i, j): j ∈ ℕ} упорядоченных пар. Это множество счетно по построению. Легко видеть, что справедливо равенство

откуда, согласно теореме 1.12, вытекает счетность декартова квадрата ℕ × ℕ множества ℕ как счетного объединения счетных множеств.

Перейдем к континуальному множеству. Докажем, что множество всех упорядоченных пар двоичных последовательностей эквивалентно множеству всех таких последовательностей, т.е. 2^ℕ × 2^ℕ ~ 2^ℕ.

Паре последовательностей (α, β) поставим в соответствие последовательность α₀, β₀, α₁, β₁, ..., α_n, β_n, ... Это соответствие будет взаимно однозначным, т.е. установлена биекция между 2^ℕ × 2^ℕ ~ 2^ℕ. ▶

Получается, что — как это ни удивительно — в квадрате „столько же" точек, сколько и в каждой его стороне. Можно обобщить это утверждение для произвольной конечной декартовой степени множества М.

Следствие 1.3. Множество рациональных чисел ℚ счетно.

◀ Каждому рациональному числу, представленному несократимой дробью a/b, однозначно соответствует упорядоченная пара (а, b), и, напротив, любая упорядоченная пара (а, b) взаимно простых целых чисел а и b однозначно определяет несократимую дробь a/b и значит, рациональное число. Следовательно, множество ℚ эквивалентно некоторому бесконечному подмножеству множества ℤ × ℤ. Поскольку множество ℤ × ℤ счетно, из теоремы 1.11 вытекает, что любое его бесконечное подмножество счетно. Таким образом, множество ℚ счетно. >

В заключение приведем сводку результатов по мощностям некоторых конечных множеств.

Теорема 1.22. Если М и N — конечные множества и |М| = m, a |N| = n, то:

1. мощность множества всех отображений М в N равна n^m;
2. мощность множества всех биекций из N на себя равна P_n=n!;
3. мощность множества всех инъекций из М в N (m ≤ n) равна A^mn =       n!  (n-m)!      ;
4. мощность множества всех подмножеств множества N равна 2ⁿ;
5. мощность множества всех k-элементных подмножеств множества N равна C^kn =       n!  k!(n-k)!      ;
6. мощность прямого произведения М × N равна mn. #

Напомним [I], что в комбинаторике число Р_n называют числом перестановок n элементов, число A^mn — числом размещений без повторений из n элементов по m, число C^kn (обозначаемое также (^nk )) — числом сочетаний из n элементов по k. Эти числа называются также биномиальными коэффициентами, поскольку (формула бинома Ньютона).