Специальные свойства бинарных отношений

В этом параграфе дана определенная классификация бинарных отношений на множестве. В основе этой классификации лежат специальные свойства отношений.

Бинарное отношение р на множестве А называют рефлексивным, если диагональ множества А содержится в р: id_A ⊆ р, т.е. х р х для любого элемента х множества А.

Если же id_A∩p = ∅, то бинарное отношение р на множестве А называют иррефлексивным.

Указанные свойства бинарных отношений на множестве А называют рефлексивностью и иррефлексивностью.

Бинарные отношения равенства и подобия на множестве геометрических фигур рефлексивны: каждый треугольник рaвен самому себе и подобен самому себе. На самом деле рефлексивны все отношения равенства: равенство чисел, равенство векторов, равенство множеств и т.п. Также рефлексивными являются, например, бинарное отношение нестрогого неравенства на множестве действительных чисел, поскольку для любого числа х всегда х ≤ x, и отношение С включения множеств, так как для любого множества X всегда X ⊆ X.

Напротив, бинарное отношение на множестве действительных чисел, задаваемое строгим неравенством х < у, иррефлексивно, равно как и отношение ⊂ строгого включения множеств.

Не следует путать иррефлексивное отношение с нерефлексивным, т.е. не являющимся рефлексивным, отношением. Иррефлексивное отношение нерефлексивно, но не всякое нерефлексивное отношение иррефлексивно. Иррефлексивному отношению на А не принадлежит ни один элемент диагонали id_A, а нерефлексивное отношение может содержать некоторые (но не все!) элементы диагонали. На рис. 1.7 приведены примеры графиков иррефлексивного и нерефлексивного отношений (пунктиром указаны диагонали множеств).

Бинарное отношение р на множестве А называют:

1. симметричным, если для любых х,y∈A из xpy следует ypx;
2. антисимметричным, если для любых х,y∈A из одновременной справедливости хрy и ypx следует, что х = у.

Соответствующие свойства бинарных отношений на множестве А называют симметричностью и антисимметричностью.

График симметричного бинарного отношения на множестве А симметричен относительно диагонали (рис. 1.8).

Теорема 1.1. Бинарное отношение р на множестве А симметрично, если и только если бинарное отношение на множестве А, обратное к р, совпадает с р: р^-1 = р.

◀ Пусть (x, у) ∈ р^-1, т.е. (у, х) ∈ р. Тогда, в силу симметричности р, (x, у) ∈ р. Следовательно, р^-1 ∈ р. Аналогично доказывается включение р ⊆ р^-1.

Теперь пусть р = р^-1. Тогда (x, у) ∈ р и (x, у) ∈ р^-1. Из определения обратного отношения вытекает, что (у, х) ∈ р. Следовательно, р — симметричное бинарное отношение. ▶

Теорема 1.2. Бинарное отношение р на множестве А антисимметрично, если и только если р∩р^-1⊆id_A.

◀ Действительно, если (x, у) ∈ р∩р^-1, то (x, у) ∈ р и (x, у) ∈ р^-1 (т.е. (у, х)∈ р). Но из выполнения соотношений хру и урх ввиду антисимметричности р следует, что x = у, т.е. (x, у) ⊆ id_A.

Обратно, пусть р∩р^-1⊆ id_A. Предположим, что (х, у) ∈ р и (у, х) ∈ р, причем x ≠ у. Тогда (х, у) ∈ р^-1 и (х, у) ∈ р ∩ р^-1, но (x, у) ∉ id_A. Получаем противоречие. ▶

Отметим, что для антисимметричного бинарного отношения на множестве А может иметь место равенство р ∩ р^-1 = ∅.

Все бинарные отношения в геометрии типа равенства или подобия симметричны. Так, если треугольник ABC подобен треугольнику А'В'С, то и второй из этих треугольников подобен первому. Бинарные отношения неравенства чисел и включения множеств, как строгие, так и не строгие, антисимметричны.

Бинарное отношение р на множестве А называют транзитивным, если для любых х, у, z ∈ А из того, что хру и урz, следует х р z. Соответствующее свойство бинарного отношения называют транзитивностью.

Пример 1.12. а. Пусть М — некоторое множество населенных пунктов. Зададим на нем бинарное отношение достижимости: из пункта А достижим пункт B, если есть дорога, по которой можно доехать из A в В. Это отношение транзитивно, поскольку если из пункта А можно доехать до пункта B, а из В есть дорога до С, то из А можно проехать в С.

б. Бинарные отношения равенства и подобия в геометрии являются транзитивными: если треугольник ABC подобен треугольнику А₁В₁С₁, а этот последний подобен треугольнику А₂В₂С₂, то первый треугольник подобен третьему.

в. Бинарное отношение неравенства на множестве действительных чисел не транзитивно, так как из того, что х≠у и у≠z, вовсе не следует, что х≠z. Аналогично, если х друг у, а у друг z, то — вопреки известной поговорке — это не означает, что х друг z. #

Докажем следующее важное свойство транзитивного бинарного отношения.

Теорема 1.3. Бинарное отношение р на множестве А зитивно тогда и только тогда, когда его квадрат содержится в нем, т.е. р ॰ р ⊆ р.

◀ Пусть бинарное отношение р на множестве А транзитивно и (x, z) ∈ p² = p॰p. В силу определения композиции бинарных отношений на множестве А существует такой элемент у, что хру и уpz, откуда ввиду транзитивности р получаем х р z, т.е. (x, z) ∈ p, а значит, p₂ ⊆ р.

Обратно, пусть бинарное отношение р на множестве A таково, что p² ⊆ р, а (x, у)∈ p и (у, z) ∈ p. Тогда в силу определения композиции бинарных отношений на множестве А (x, z) ∈ p². Поскольку p² ∈ p, то (x, z) ∈ p. Таким образом, из того, что (x, у) ∈ p и (у, z) ∈ p, следует, что (x,z) ∈ p, т.е. бинарное отношение р на множестве А транзитивно. ▶

Доказанное свойство целесообразно использовать для проверки транзитивности бинарного отношения р на некотором множестве в тех случаях, когда построение квадрата р является более легкой задачей по сравнению с исследованием свойства транзитивности р на основе определения.

Бинарное отношение р на множестве А называется ным, если для любых x, у ∈ A, отличных друг от друга и таких, что хру, найдется z, отличный и от x и от у, такой, что хpz и zpy.

Образно говоря, для любой пары элементов, связанных плотным отношением, всегда найдется третий элемент, который „встраивается между ними" и связан с каждым из них тем же отношением. Так, отношения неравенства (строгого и нестрогого) на множествах рациональных и действительных чисел плотны, но аналогичные отношения на множествах целых и натуральных чисел плотными не являются. В самом деле, каковы бы ни были рациональные (или действительные) числа х и у, из того, что х < у, следует, что существует число z, отличное как от x, так и от у, такое, что х < z < у. Например>, подходит число z = (х + у)/2. Но для целых чисел m и m + 1 такого „промежуточного" целого числа нет.

Если р — плотное бинарное отношение на множестве А и для некоторых х,у ∈ А имеет место хру, то найдется z ∈ А, такой, что х≠z, у≠z, хpz, zру. Отсюда в силу определения композиции отношений следует, что хр²у. Значит, из (х, у) ∈ р следует (х, у) ∈ р², т.е. р ⊆ р².

Итак, если р плотно, то оно содержится в своем квадрате. Напомним, что для транзитивного бинарного отношения р² ∈ р. Следовательно, если бинарное отношение р одновременно плотно и транзитивно, то р = р².

Среди всех бинарных отношений на произвольном множестве выделяют классы отношений в зависимости от свойств, которыми эти отношения обладают.

Бинарное отношение на некотором множестве называют:

1. эквивалентностью, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно;
2. толерантностью, если оно рефлексивно и симметрично;
3. порядком (или частичным порядком), если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно;
4. предпорлдком (или квазипорядком), если оно рефлексивно и транзитивно;
5. строгим порядком, если оно иррефлексивно, антисимметрично и транзитивно;
6. строгим предпорядком, если оно иррефлексивно и транзитивно.

Определенные выше бинарные отношения называют отношениями эквивалентности, толерантности, порядка (частичного порядка), предпорядка (квазипорядка), строгого порядка, строгого предпорядка.

Пример 1.13. а. Бинарное отношение параллельности двух прямых или двух плоскостей в евклидовой геометрии, если считать каждую прямую (плоскость) параллельной самой себе, есть отношение эквивалентности.

б. Бинарное отношение р на множестве всех непустых подмножеств некоторого множества U, для которого А р В тогда и только тогда, когда А ∩ В ≠ ∅, является толерантностью. Это отношение рефлексивно и симметрично, но не транзитивно. Действительно, из того, что А ∩ В ≠ ∅ и B ∩ C ≠ ∅, никак не следует, что А ∩ C ≠ ∅ (рис. 1.9).

в. Примером отношения порядка является естественный числовой порядок*, т.е. отношение неравенства на любом числовом множестве.

г. На множестве натуральных чисел ℕ зададим бинарное отношение а|b, означающее, что а делит b (а является делителем b). Это отношение рефлексивно, поскольку любое число является делителем самого себя. Покажем антисимметричнсть. Пусть а делит b и в то же время b делит а. Тогда найдется натуральное число t₁, такое, что b=at₁ и найдется t₂, такое, что a=bt₂.Отсюда b = bt₂t₁, что на множестве натуральных чисел возможно только при t₁ = t₂ = 1. Следовательно, a = b. Покажем транзитивность. Если а делит b, а b делит с, то найдутся натуральные числа t₁, t₂ такие, что b = at₁ и с = bt₂. Отсюда имеем с = at₁t₂ т.е. a — делитель с. Таким образом, „отношение делимости" на множестве ℕ является отношением порядка.

Если распространить это отношение на множество целых чисел, то оно будет уже только предпорядком, поскольку теряется свойство антисимметричности. Например, 2 делится на —2 и —2 делится на 2, однако 2 ≠ —2.

*В [I] это отношение названо просто естественным порядком. Поскольку в дискретной математике нам приходится иметь дело со многими порядками на нечисловых множествах, мы все время будем говорить „есте- „естественный числовой порядок", подчеркивая тем самым, что речь идет об отношении порядка на множестве действительных чисел (или об его ограничении на множества рациональных, целых или натуральных чисел).

д. Рассмотрим множество 2^A всех подмножеств множества А. Покажем, что отношение включения С на множестве 2^A есть порядок. Это отношение рефлексивно, так как для любого множества X справедливо включение X ⊆ X. Поскольку для любых двух множеств X и У из Х⊆У и У⊆Х следует, что X = У, рассматриваемое отношение антисимметрично. Из определения включения вытекает, что если X ⊆ У и Y ⊆ Z, то X ⊆ Z. Следовательно, отношение транзитивно.

е. Отношение строгого неравенства на числовом множестве, равно как и отношение строгого включения множеств, есть отношение строгого порядка.

ж. В качестве примера отношения строгого предпорядка можно привести отношение пстрогой достижимости" на некотором множестве населенных пунктов: пункт А считаем строго достижимым из отличного от него пункта B, если есть дорога (автомобильная, железная и т.п.) из А в .В, причем принимается, что никакой пункт не является строго достижимым из себя самого. #

Отношения толерантности, эквивалентности, предпорядка и порядка — важнейшие в современной математике. Связь между этими четырьмя классами бинарных отношений показана на рис. 1.10. Можно сказать, что эквивалентность есть транзитивная толерантность или симметричный предпорядок. Порядок же есть антисимметричный предпорядок.

Для любого бинарного отношения р ⊆ А² можно построить отношение р* следующим образом: х р* у тогда и только тогда, когда х = у или существует последовательность x₀, x₁ ..., x_n, n ≥ 1, такая, что x₀ = х, x_n = y и для каждого i = 0,n—1 выполняется x_ipx_i+1. В частности, если (x, у) ∈ р, т.е. хру, то это означает, что приведенное условие выполняется при n = 1. Следовательно, (x, у) ∈ р*, т.е. р ∈ р*.

Отношение р* называют рефлексивно-транзитивным замыканием бинарного отношения р на соответствующем множестве.

Можно также обозначить

р⁰ = id_A, р¹ = р, рⁿ = р॰р^n-1, n > 1,

и тогда

Отношение р* является рефлексивным, так как id_A ⊆ р*. Докажем его транзитивность. Пусть для каких-то x,y,z выполняется х р* у и у р* z. Докажем, что x р* z. Будем считать, что элементы х, у, z попарно различны (так как при х = у или y = z доказывать нечего). Тогда существуют последовательности x = x₀, х₁ ..., x_n = y и у = у₀, y₁, ..., у_m, такие, что x_ipx_i+1 для каждого i = 0,n—1 и у_j р yу_j+1 для каждого j=0,m—1(n,m≥1).

В итоге получаем последовательность z₀, ..., z_n, z_n+1,..., z_n+m, где z₀ = x, z_n = y, z_n+m = z, z_i = x_i для всякого i = 0,n—1, z_n+j = y_j для всякого j = 1,m—1, такую, что z_ipz_i+1для любого i = 0,n+m, т.е.xp*z.