Операции над соответствиями

Поскольку соответствия можно считать множествами, то все операции над множествами (пересечение, объединение, разность, дополнение и т.д.) можно применить и к соответствиям. Заметим, что, говоря о дополнении соответствия из Л в В, мы имеем в виду дополнение до универсального соответствия из A в В, т.е. до декартова произведения А × В. Естественно, что и равенство соответствий можно трактовать как равен- равенство множеств.

В то же время на соответствия можно распространить операции, определяемые для отображений. Мы рассмотрим здесь две такие операции.

Композиция соответствий. Следуя аналогии с композицией отображнений, композицией (произведением) соответствий р ⊆ А×В и σ ⊆ В×С называют соответствие

рºσ = {(x, у): (∃ z ∈ B)((x, z)∈р)∧((z, у) ∈ σ)}.     (1.3)

Поясним построение композиции двух соответствий. Обратимся сначала к отображениям (как частным случаям соответствий). Пусть заданы отображения (возможно, частичные): f из А в В и g из В в С. Композиция* fºg определяется как отображение из А в С, задаваемое формулой у = g(f(x)). Тем самым задается график отображения fºg, т.е. множество упорядоченных пар (x, у), таких, что у = g(f(x)). При этом упорядоченная пара (x, у) будет принадлежать графику отображения fºg, если и только если найдется элемент z ∈ В, такой, что z = f(x) и у = g(z). Таким образом, график композиции отображений /ид есть

fºg = {(x, у): (∃z)(z = f(x) и y = g(z))} = {(x, У): У = g(f(x))}.     (1.4)

* Необходимо заметить, что в [I] запись gº f(x) означает g(f(x)), т.е. отображения в композиции пишутся в порядке, обратном тому, в каком они применяются. Мы же будем везде использовать запись fºg, полагая, что fºg(x) = g(f(x)) и порядок записи отображений в композиции совпадает с порядком их применения. Это обусловлено тем, что композиция отображении определяется нами как частный случай композиции соответствий, при записи которой естественным оказывается именно такой порядок.

Легко видеть, что (1.4) есть частный случай (1.3). Отметим, что при построении композиции отображений обычно предполагают, что пересечение области значений отображения f и области определения отображения д не пусто (R(f) ∩ D(g) ≠ 0), поскольку в противном случае композиция была бы пуста. Для отображений, не являющихся частичными, R(f) ⊆ D(g), так как D(g) = В. Поэтому в данном случае пересечение R(f) ∩ D(g) всегда не пусто.

Полезно отметить также, что если f и g — биекции, то и композиция их тоже будет биекцией.

Вернемся к рассмотрению композиции соответствий рºσ. Полагая, что область определения D(p) соответствия р не пуста, возьмем произвольный элемент х ∈ D(p). Пусть сечение р(х) ⊆ B соответствия p не пусто и найдется такой элемент z ∈ р(x), что сечение σ(z) ⊆ C также не пусто. Тогда непустое множество {(x, t): t ∈ σ(z)} будет подмножеством сечения соответствия роа в точке х. Сечением соответствия роа в точке х будет непустое в силу сделанных предположений множество всех таких упорядоченных пар (x, t) ∈ А × С, что х ∈ D(p), a t ∈ σ(z) для некоторого z ∈ р(х). Говоря неформально, нужно перебрать все элементы z из сечения р(х). Таким образом, различие в построении композиции соответствий и композиции отображений заключается в том, что „промежуточный" элемент z в общем случае не единственный и каждому такому элементу также ставится в соответствие не единственный элемент у ∈ С.

Пример 1.8. Соответствие р возьмем из примера 1.3. Соответствие σ зададим как соответствие из множества грамм {n₁, n₂, n₃, n₄, n₅} в множество заказчиков программного обеспечения {З₁З₂З₃З₄}. Пусть

σ = {(n₁,З₃), (n₁,З₄),(n₂,З₁),(n₃,З₂),(n₄,З₄),(n₅,З₃),

Рассмотрим процесс построения композиции соответствий р и σ. Начнем с элемента И. Имеем р(И) = {n₁, n₃,n₅}, σ(n₁) = {З₃,З₄},σ(n₃) = {З₂} и σ(n₅) = {З₃}. Отсюда получаем

σ(n₁)∪σ(n₃)∪σ(n₅) = {З₂,З₃,З₄} -

сечение композиции по элементу И. Рассуждая аналогично, получим (р॰σ)(П) = {З₁,З₄} и (р॰σ)(С) = {З₁,З₃}.

Построение графа композиции р॰σ проиллюстрировано на рис. 1.3. #

Отметим, что область определения композиции соответствий содержится в области определения первого соответствия, а область значений композиции соответствий — в области значений второго соответствия. Из приведенных рассуждений следует, что для того, чтобы композиция соответствий была отлична от пустого соответствия, необходимо и достаточно, чтобы пересечение области значений первого соответствия и области определения второго соответствия было не пусто.

К определению композиции соответствий можно подойти с более общих позиций. Пусть p⊆A×B и σ⊆C×D. При этом на множества A, B, С и D априори не накладывается никаких органичений. Композиция р॰σ соответствий р и σ в этом случае также определяется соотношением (1.3). Чтобы такая композиция была отлична от пустого соответствия, необходимо и достаточно выполнение условия R(p)∩D(σ) ≠ ∅. В частности, р॰σ = ∅ всякий раз, когда В ∩ С = ∅.

Пример 1.9. Рассмотрим соответствие

τ = {(1, а),(2, а),(3,d)}

из множества А = {1,2,3} в множество В = {а, b, d} и соответствие

φ ={(b,e),(b,f),(c,f)}

из множества С = {b, с, d} в множество D = {е, f}. В данном случае В ∩ С ≠ ∅, но τ ॰ φ = ∅, поскольку R(τ) = {a, d}, D(φ) = {b,с} и R(τ)∩D(φ)=∅. #

Заметим, что композиция соответствий р ⊆ A × B и σ ⊆ С × D не коммутативна, т.е. в общем случае рост р ॰ σ ≠ σ ॰ р, поскольку р ॰ σ ⊆ A × D, а σ ॰ р ⊆ C × B.

Бинарное отношение на множестве является частным случаем соответствия. Для двух бинарных отношений р и σ, заданных на множестве A, их композиция р ॰ σ (1.3) как соответствий является бинарным отношением на том же множестве А. В этом случае говорят о композиции бинарных отношений на множестве А.

Композицию р ॰ р бинарного отношения р на некотором множестве с самим собой называют квадратом бинарного отношения р и обозначают р².

Рассмотрим пример построения композиции бинарных отношений на множестве и покажем, что в общем случае для двух бинарных отношений τ и φ также имеет место неравенство τ ॰ φ ≠ φ ॰ τ, хотя обе композиции, в отличие от аналогичных композиций двух произвольных соответствий, заданы на одном и том же множестве.

Пример 1.10. а. Зададим на множестве А = {1,2,3,4} бинарные отношения τ = {(x, у): х +1 < у}, φ = {(x,у): |x — y| = 2} и найдем композицию τ ॰ φ.

Имеем τ(1) = {3,4}, φ(3) = {1} и φ(3) = {2}. Следовательно, (τ ॰ φ)(1) = φ(3) ∪ φ(4) = {1,2}. Далее τ(1) = {4}, φ(4) = {2} и (τ ॰ φ)(2) = {2}. Так как τ(3) = τ(4) = ∅, то в итоге получим τ ॰ φ = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)}. Построение композиции проиллюстрировано на рис. 1.4, а.

Найдем композицию φ ॰ τ. Поскольку φ(1) = {3}, а τ(3) = = ∅, то (φ ॰ τ)(1) = ∅. Аналогично φ(2) = {4}, а τ(4) = ∅, поэтому (φ ॰ τ)(2) = ∅. Далее φ(3) = {1}, τ(1) = {3,4}, поэтому (φ ॰ τ)(3) = {3,4}, a φ(4) = {2}, τ(2) = {4} и (φ ॰ τ)(4) = {4}. Построение композиции проиллюстрировано на рис. 1.4, б.

Легко видеть, что τ ॰ φ ≠ φ ॰ τ.

б. Пусть отношение р на множестве действительных чисел определено как функция у = ах + b. Найдем квадрат этого отношения (линейной функции от одного переменного).

Согласно (1.4), это будет функция h, такая, что h(x) = = а(ах + b) + с, т.е. h(x) = а²х + (ab + с). Это тоже линейная функция, но с другими коэффициентами. #

Приведем некоторые свойства композиции соответствий:

1. р ॰(σ॰τ) = (р ॰σ)॰τ;
2. для любого соответствия р имеет место р ॰∅ = ∅॰р = ∅;
3. р ॰(σ∪τ) = (р ॰σ)∪(р ॰τ);
4. для любого бинарного отношения на множестве А имеет место равенство р ॰ id_A = id_A॰p = р.

Эти свойства нетрудно доказать методом двух включений. Рассмотрим в качестве примера доказательство свойства 3. Пусть некоторая упорядоченная пара (x, у) принадлежит композиции p ॰ (σ ∪ τ). Тогда, согласно (1.3), найдется такой элемент z, что (x, z) ∈ р и (z, у) ∈ σ ∪ τ. Последнее означает, что (z, у) ∈ σ или (z, у) ∈ τ. Таким образом, для элемента z имеем (x, г) ∈ р и (z, у) ∈ σ или (x, z) ∈ р и (z, у) ∈ τ. Первая альтернатива имеет место при (x, у) ∈ р ॰ σ, а вторая — при (x, у) ∈ р ॰ τ, что означает (x, у) ∈ р ॰ σ ∪ р ॰ τ. Тем самым включение р ॰(σ ∪ τ) ⊆ р ॰ σ ∪ р ॰ τ доказано.

Доказательство включения р ॰ σ ∪ р ॰ τ ⊆ р ॰ (σ ∪ τ) запишем коротко, используя логическую символику:

(x, у) ∈ р ॰ σ ∪ р ॰ τ ⇒ (∃u)(((x,u)∈р∧((u,y)∈σ))∨(∃v)(((x,v)∈p∧((v,y)∈τ)) ⇒ (∃z)(((x,z)∈p)∧(((z,y)∈σ)∨((z,y)∈τ)))⇒(∃z)(((x,z)∈p∧((z,y)∈σ∪τ))⇒(x,y)∈p॰(σ∪τ).

В данном случае доказательства двух включений не совсем симметричны: элементы u и v во второй части доказательства не обязаны совпадать.

Замечание 1.4. В тождестве, выражающем свойство 3, нельзя вместо объединения поставить пересечение, так как в этом случае тождество нарушится. Можно доказать, что сохранится лишь включение

р ॰(σ ∪ τ) ⊆ р ॰ σ ∩ р ॰ τ,

а обратное включение в общем случае не имеет места. #

Анализ свойств 2 и 4 показывает, что роль пустого соответствия аналогична роли нуля при умножении чисел, а диагональ множества А играет роль, аналогичную роли единицы, на множестве всех бинарных отношений на А.

Обратное соответствие. Соответствие, обратное к соответствию р ⊆ А × В, есть соответствие из В в А, обозначаемое р^-1 и равное, по определению, р^-1 = {(у, х): (x, у) ∈ р}.

Для соответствия г из примера 1.3

τ^-1={n₁, И),(n₂, П),(n₂, С), (n₃, И), (n₄, П), (n₅, И), (n₅, С)}.

Обратное соответствие обладает следующими легко проверяемыми свойствами:

1) (р^-1)^-1 = р;

2) (р॰σ)^-1=σ^-1॰р^-1.

Для бинарного отношения р на множестве А обратное соответствие есть бинарное отношение на том же множестве. В этом случае говорят о бинарном отношении р^-1 на множестве А, обратном к р.

Заметим, что соответствия р॰р^-1 и р^-1॰р в общем случае не совпадают. Даже для бинарного отношения р на множестве А р॰р^-1≠р^-1॰р, а также р॰р^-1≠id_A и р^-1॰р≠id_A.

Например, для бинарного отношения р = {(3,1), (4,1), (4,2)} на множестве А = {1,2,3,4} графы самого отношения, обратного отношения р^-1, композиций р॰р^-1 и р^-1॰р представлены на рис. 1.5.

Если а: A→ В — отображение, то оно является соответствием. Обратное к а соответствие из В в А в общем случае не является отображением. Действительно, соответствие f^-1, обратное к f, состоит из всех упорядоченных пар вида (f(x), x), х∈А. Поскольку в общем случае могут найтись такие два различных элемента х и x', что f(x) = f(x'), то соответствие f^-1 в общем случае не будет функционально по второй компоненте и поэтому не будет отображением. Если отображение f тивно, то обратное соответствие есть частичное отображение из В в А. Если отображение f биективно, то обратное соответствие является отображением из В в А, причем имеют место равенства

f॰f^-1=id_A, f^-1॰f=id_B

Отображение f^-1 в этом случае называют отображением, обратным к f.

Ограничение соответствия. Пусть р ⊆ А × В — соответствие из А в В и С ⊆ A, D ⊆ В. Ограничением соответствия р на подмножества С и D (или (С, D)-ограничением соответствия р) называется соответствие из С в D обозначаемое р|_C,D) такое, что

(x, у) ∈ р|_C,D ⇔ ((x, у) ∈ р) ∧ (х ∈ С) ∧ (у ∈ D).

Таким образом, (С, D)-ограничение соответствия р есть „то же самое" соответствие р, но из последнего берутся только упорядоченные пары, первая компонента которых принадлежит подмножеству С, а вторая — подмножеству D. Можно записать

р|_C,D=p∩(C×D).

Так, „малый" арксинус, т.е. функция у = arcsinx, есть ограничение „ большого" арксинуса у — Arcsin x, который является соответствием на подмножества [—1,1] и [-π/2,π/2].

Рассмотрим некоторые важные частные случаи ограничений соответствий (в частности, бинарных отношений и отображений).

Всякое (С, В)-ограничение соответствия р ⊆ А × В будем называть сужением соответствия р на подмножество С (коротко — С-сужением соответствия р), а всякое (С, p(С))-ограничение соответствия р — строгим сужением соответствия р на подмножество С (строгим С-сужением соответствия р). С-сужения соответствия р будем обозначать р|_C, а строгое сужение — р|_॰C соответственно.

Полезно заметить, что для любого отображения f: А → В строгое сужение f|_॰A есть сюръекция А на f(A). Если, сверх этого, f является инъекцией, то f|_॰A есть биекция А на f(A). Допуская некоторую вольность речи*, можно сказать, что любое отображение сюръективно отображает свою область определения на свою область значений, в частности, любая инъекция устанавливает взаимно однозначное соответствие между областью определения и областью значений. Так, функция у = sinx сюръективно отображает множество ℝ всех действительных чисел на отрезок [—1,1], а любая показательная функция биективно отображает ℝ на подмножество всех положительных действительных чисел.

Для бинарного отношения р ⊆ А² и любого подмножества М ⊆ А (М, М)-ограничение бинарного отношения называют ограничением бинарного отношения р на подмножество М и обозначают р|_M. Можно записать р|_M = р∩М².

* Вольность состоит в томб что мы отождествляем функцию а с функцией f|_॰A.

Рассмотрим, например, отношение естественного порядка ≤ на множестве действительных чисел [I]. Тогда отношение ≤|_ℤ = {(m, n): m ≤ n; m, n ∈ ℤ} есть ограничение этого порядка на подмножество целых чисел. Но ни в коем случае нельзя путать это отношение с ℤ-сужением отношения ≤! Это последнее состоит из всех таких упорядоченных пар (m, x), что m ∈ ℤ, x ∈ ℝ и m ≤ x, т.е. вторая компонента пары может быть произвольным действительным числом, не меньшим заданного целого m.