Прямые произведения алгебраических систем

Часто возникает необходимость, имея некоторые исходные однотипные алгебраические системы, определенным образом распространить их операции и отношения на декартово произведение их носителей: например, определить структуру группы (кольца, поля) на декартовом произведении носителей некоторых групп (колец, полей) или перенести структуру индуктивного упорядоченного множества на декартово произведение носителей заданных индуктивных упорядоченных множеств и т.п. Выясним, как осуществляется такой перенос операций и отношений, а также сформулируем некоторые условия, при которых все свойства исходных алгебраических систем сохраняются в их декартовом произведении.

Пусть A₁ = (А₁, Ω, П), ..., А_n = (А_n, Ω, П) — однотипные алгебраические системы (их сигнатурьц как и элементы этих сигнатур, обозначаются одинаково). Рассмотрим декартово произведение В = А₁ × ... × А_n их носителей и перенесем на В операции и отношения исходной сигнатуры следующим образом.

1. Для любой m-арной (m ≥ 1) операции ω ∈ Ω и произвольных кортежей x_i = (х_il, ..., х_in) ∈ В, i = 1,m, положим

x₁...x_mω=(x₁₁...x_m1ω,...,x_1n...x_mn).

Для любых нульарных операций a₁, ..., а_n алгебраических систем A₁ ..., А_n определим кортеж а = (a₁, ..., а_n) как нульарную операцию на множестве В.

2. Для любого s-арного отношения π ∈ П (s ≥ 1) и произвольных кортежей x_i = (x_i1, ..., x_in) ∈ B, i = 1,s, положим (x₁, ..., x_ы) ∈ π тогда и только тогда, когда (x_1j, ..., x_sj) ∈ π для каждого j = 1,n. для каждого j = 1,n.

Полученную таким образом алгебраическую систему В на множестве В = А₁× ... × А_n называют прямым (декартовым) произведением алгебраических систем A₁ ..., A_n и обозначают A₁ × ... × A_n.

В том случае, когда А₁ =...= А_n = A, получаем n-ю тову степень алгебраической системы A, обозначаемую A^m.

Замечание 4.4. Несколько особняком стоит случай п = 0. Как известно (см. 2.2), нулевая декартова степень произвольго множества А есть, по определению, одноэлементное множество {λ} и его элемент λ называется пустым кортежем. Тогда нулевая декартова степень A⁰ алгебраической системы A есть алгебраическая система ({λ}, Ω, П), где λ...λω = λ для всех ω ∈ Ω и (λ, ..., λ) ∈ π для всех π ∈ П. #

Итак, операции и отношения исходных однотипных алгебраических систем переносятся на декартово произведение их носителей покомпонентно.

Пример 4.9.

Рассмотрим алгебраическую систему R = (ℝ, +, •, 0, 1, ≤), сигнатура которой состоит из обычных операций сложения, умножения (бинарные операции), 0 и 1 (нульарные операции) и естественного числового порядка (бинарное отношение). Распространим эти операции и отношения на декартов квадрат ℝ х ℝ = ℝ² множества действительных чисел согласно определению, данному выше.

Сложение упорядоченных пар действительных чисел определяется тогда равенством

(а₁ b₁) + (а₂, b₂) = (а₁ + а₂, b₁ + b₂),

а умножение - равенством

(а₁ b₁) ⋅ (а₂, b₂) = (а₁ ⋅ а₂, b₁ ⋅ b₂).

При этом легко понять, что упорядоченная пара (0,0) будет нейтральным элементом по сложению в ℝ², а упорядоченная пара (1,1) — нейтральным элементом по умножению. Кроме того, для любых действительных чисел а, Ь будем иметь (а,Ь) ⋅ (0,0) = (0,0), т.е. пара (0,0) играет роль нуля относительно умножения в ℝ².

Отношение порядка на множестве упорядоченных пар вводится по правилу*

(а₁ b₁) ≤ (a₂, b₂)⇔(a₁ ≤ a₂ и b₁ ≤ b₂).

Заметим, что мы уже ранее многократно пользовались подобным определением отношения порядка на множестве упорядоченных пар (и, в более общем случае, кортежей). #

Для каждого i = 1,n определим проекцию рr_i: В → А_i полагая рr_i(x) = x_i. Можно показать, что рr_i есть строгий гомоморфизм, называемый проектирующим гомоморфизмом.

Из определения декартова произведения алгебраических систем априори не следует, что в нем сохраняются все свойства операций и отношений перемножаемых алгебраических систем. Разберем в этой связи такой пример.

Пример 4.10. Пусть K₁ и K₂ — поля. Их произведение K₁ × K₂ не будет полем, так как в этом произведении возникают делители нуля. В самом деле, если а ∈ K₁ \ {0}, b ∈ K₂ \ {0}, то (а,0) ⋅ (0,b) = (0,0) — элемент, являющийся нулем произведения К₁ × K₂. Таким образом, алгебра K₁ × K₂ будет, как нетрудно убедиться, только кольцом. #

Этот пример показывает, что в декартовом произведении могут теряться некоторые свойства исходных алгебраических систем. В частности, декартово произведение полей не будет полем. Здесь уместно вспомнить о поле комплексных чисел, носителем которого является декартов квадрат ℝ₂. Но если сложение в этом поле определяется покомпонентно, т.е. по правилам декартова произведения алгебр, то умножение введено по более сложному правилу, позволяющему сохранить аксиомы поля.

Теорема 4.11.

Прямое произведение полугрупп (моноидов, групп) есть полугруппа (моноид, группа).

1. Прямое произведение полуколец (идемпотентных полуколец, колец) есть полукольцо (идемпотентное полукольцо, кольцо).
2. Прямое произведение полурешеток, решеток, симметричных полуколец, булевых алгебр есть соответственно полурешетка, решетка, симметричное полукольцо, булева алгебра.
3. Прямое произведение (индуктивных) упорядоченных множеств есть (индуктивное) упорядоченное множество.

◀ Для простоты будем рассматривать доказательство для произведения двух алгебраических систем.

1. Если S₁ = (S₁,⋅) и S₂ = (S 2,⋅) — Две полугруппы, то, вводя на множестве S₁ × S₂ операцию ⋅ так, что для любых a₁, b_i ∈ S₁, a₂, b₂ ∈ S₂ справедливо (а₁ а₂) ⋅ (b₁ b₂) = (a₁ ⋅ a₂ a₂ ⋅ b₂получим полугруппу, поскольку в силу ассоциативности операции ⋅ на множествах S₁ и S₂ будем иметь (a₁, a₂) ⋅ ((b₁ b₂ ⋅ (c₁, c₂)) = (a₁, a₂) ⋅ (b₁ ⋅ c₁ b₂ ⋅ c₂) =
   =((a₁⋅)b₁⋅c₁,a₂⋅(b₂⋅c₂)=((a₁⋅b₁)⋅c₁, (a₂⋅b₂)⋅c₂)=
   =((a₁,a₂)⋅(b₁,b₂))⋅(c₁,c₂).
   Если в каждой из указанных выше полугрупп существует нейтральный элемент е₁ и е₂ соответственно, то легко проверить, что упорядоченная пара (e₁, е₂) является нейтральным элементом по операции ⋅ на декартовом произведении Si × S2.
   Если же моноиды S₁ и S₂ суть группы, то элемент из S₁ × S₂, обратный к (a₁, a₂), равен (a^{-1 1} , a^-12 ).
2. Доказательство для полукольца и кольца проводится аналогично предыдущему.
3. Точно так же, совершенно аналогично доказательству для групп, проводится доказательство для полурешеток, реше- решеток, симметричных полуколец и булевых алгебр.
4. Пусть теперь М₁ = (M₁,≤) и M₂ — (М₂,≤) — индуктивные упорядоченные множества, наименьшие элементы которых суть 0₁ и 0₂

Определяя отношение порядка ≤ на декартовом произведении M₁ × М₂ покомпонентно, так же как это сделано в примере 4.9, получаем, что упорядоченная пара (0₁, 0₂) является на указанном произведении наименьшим элементом.

Далее, произвольной неубывающей последовательности упорядоченных пар

(а₁ b₁) ≤ (а₂, b₂) ≤ ... ≤ (а_n, b_n) ≤ ...

соответствуют две неубывающие последовательности

a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n≤... и b₁ ≤ b₂ ≤ ... ≤ b_n ≤...

в множествах М₁ и М₂, каждая из которых имеет верхнюю грань — элементы с₁ и c₂. Нетрудно показать, что упорядоченная пара (с₁, c₂) есть точная верхняя грань записанной выше последовательности упорядоченных пар.▶

Рассмотрим теперь конструкцию, во многом аналогичную прямому произведению алгебраических систем.

Пусть A = (A,Ω,П) — некоторая алгебраическая система, а X — произвольное множество. Распространим операции и отношения алгебраической системы A на множество А^х всех отображений из X в А.

Это осуществляется следующим образом:
1) для любого n≥0, любой операции ω ∈ Ω⁽ⁿ⁾ и любых отображений f₁ ,..., f_n ∈ A^X полагаем

(f₁...f_nω)(x)=f₁(x)...f_n(x)ω,

где х ∈ Х; тем самым определено отображение f₁... f_nω; ∈ -А^X как результат применения операции и к отображениям f₁, ..., f_n (в частности, для нульарной операции а ∈ А соответствующая нульарная операция на А^X есть отображение f_а, такое, что f_a(x) = а для любого x ∈ X);

2)для любого n ≥ 1, любого отношения π ∈ П⁽ⁿ⁾ и любых отображений f₁, ..., f_n ∈ А^X полагаем

(f₁, ..., f_n)∈π⇔(Ɐx∈X)((f₁(x), ..., f_n(x))∈π).

Построенную таким образом алгебраическую систему с носителем А_X, однотипную с A, обозначим A_X. Докажем, что в случае конечного множества X = {1, ...,n} алгебраическая система А^X изоморфна алгебраической системе Аⁿ.

Действительно, в этом случае каждому отображению f ∈ А^X можно однозначно сопоставить кортеж (a₁, ..., a_n) ∈ Aⁿ таким образом, что A_i = f(i), i = 1,n. В то же время каждый кортеж (a₁, ..., а_n) ∈ Аⁿ однозначно определяет отображение f ∈ А^X, для которого f(i) = а_i, i = 1,n. Тем самым построена биекция φ множества А^X на множество Aⁿ. Докажем, что она „сохраняет" операции и отношения (в том смысле, как это определено выше, см. 4.4). Для произвольных отображений f₁, ..., f_m∈A^X и произвольной операции ω∈Ω^(m) имеем

φ(f₁...f_mω)=((f₁...f_mω)(1),...,(f₁...f_mω)(n))=
=(f₁(1)...f_m(1)ω, ...,f₁(n)...f_m(n)ω)=
=(f₁(1),...,f₁(n)) ...(f_m(1), ...,f_m(n))ω= =φ(f₁)...φ(f_m)ω,

что и требовалось доказать.

„Сохранение" отношений доказывается аналогично. Тем самым изоморфизм А^X ≅ Аⁿ доказан полностью.

Пример 4.11.

а. Для аддитивной группы действительных чисел на множестве всех функций из ℝ в ℝ по приведенной выше конструкции строится аддитивнак группа функций из ℝ в ℝ. В этой группе сумма функций f и g есть функция f+g, такая, что для любого х ∈ ℝ выполняется равенство (f+g)(х) = f(x)+g(x). Функция, противоположная к f, определяется так: (—f)(x) = = —f(x). Нейтральный элемент есть нулевая функция 0, т.е. для любого x∈ℝ имеет место 0(x) = 0.

Аналогично можно построить кольцо функций из ℝ в ℝ на базе кольца действительных чисел. Несмотря на то что действительные числа образуют поле, кольцо функций, как можно легко показать, полем не будет. Этот „отрицательный" результат вполне соответствует ранее доказанному результату, согласно которому прямое произведение полей не является полем.

б. Еcли A = (А, ≤) — упорядоченное множество, то упорядоченное множество всех функций из X в А строится так: полагаем f ≤ g тогда и только тогда, когда f(x) ≤ g(х) для любого х ∈ X. Если порядок на А индуктивен, то и порядок на А^X индуктивен, что доказывается так же, как в п. 4 теоремы 4.11.