Модели и алгебры

Алгебраическая система — это упорядоченная тройка A= (А, Ω, П), где А — некоторое множество, называемое носителем алгебраической системы; Ω — некоторое множество операций на А, П — некоторое множество отношений на А. Упорядоченную пару (Ω, П) называют сигнатурой алгебраической системы.

Алгебраическую систему называют конечной, если ее носитель — конечное множество.

Обозначая через Ω⁽ⁿ⁾ подмножество всех n-арных операций

подмножество всех n-арных отношений.

Алгебраическая система, у которой множество П отношений пусто (П = ∅), есть не что иное, как n-алгебра. Алгебраическую систему, у которой пусто множество операций (Ω = ∅), называют моделью.

Замечание 4.1. Докажем, что n-арная операция на множестве А есть частный случай отношения на этом множестве. Действительно, если ω: Аⁿ → A - n-арная операция, то определим (n + 1) - арное отношение р_ω ⊆ Aⁿ⁺¹ так, что кортеж, (a₁, ..., а_n, b) ∈ р_ω тогда и только тогда, когда b = = ω(a₁, ..., а_n). Понятно, что это отношение функционально по (n + 1)-й компоненте. С учетом этого любая алгебраическая система может рассматриваться как модель. #

Мы рассмотрели много примеров алгебр. В некоторых из них были введены отношения, например естественный порядок полукольца, естественный порядок булевой алгебры, естественный порядок решетки. Эти отношения разумно ввести в сигнатуру и рассматривать указанные алгебры как алгебраические системы, тем более что указанные отношения определяли важнейшие свойства названных алгебр.

Пример 4.1. а. Одной из основных моделей в математике является упорядоченное множество. Сигнатура этой модели состоит из единственного отношения порядка. Важным частным случаем служит индуктивное упорядоченное множество.

б. Как уже было замечено, любое полукольцо, в частности замкнутое полукольцо, является алгебраической системой, сигнатура которой помимо операций полукольца содержит отношение естественного порядка полукольца.

Рассмотрим теперь некоторое поле F = (F, +, ⋅,0,1), множество всех ненулевых элементов которого разбито на подмножества Р и N. Другими словами, по определению полагаем, что для каждого а ∈ F выполняется в точности одно из трех условий: а ∈ Р, а = 0 или a ∈ N. Элементы Р назовем (условно) положительными, а элементы N — отрицательными элементами данного поля. При этом, по определению, выполняются следующие условия:

1) для каждого a ∈ F а отрицательно тогда и только тогда, когда — а положительно, т.е. —a ∈ Р;

2) если а, b ∈ Р, то а + b ∈ Р и а ⋅ b ∈ Р.

Введенные условия вполне естественны: первое означает, что элемент, противоположный к отрицательному, является по- положительным и наоборот, а второе — что сумма и произведение положительных элементов положительны.

Введем теперь на множестве F бинарное отношение < так, что a< b ↔ b - a ∈ P (читается: а „меньше" b, по определению, если разность b - а есть положительный элемент). Естественно, полагаем, что а ≤ b означает а < b или а = b. Можно показать, что введенное таким образом отношение ≤ на носителе поля F является отношением линейного порядка, т.е. для любых двух элементов a,b ∈ F или а ≤ b, или b ≤ а.

Поле вместе с отношением порядка, введенным указанным образом, называют упорядоченным полем. Таким образом, упорядоченное поле можно рассматривать как алгебраическую систему F_O = (F, +, ⋅, 0, 1, ≤), в которой алгебра F = (F, +, ⋅, 0, 1,) является полем, а отношение порядка ≤ определено так, как сказано выше.

Пусть, кроме этого, отношение порядка в упорядоченном поле обладает следующим свойством непрерывности: каковы бы ни были непустые множества A ⊂ F и B ⊂ F, y которых для любых двух элементов а ∈ А и b ∈ В выполняется а ≤ b, существует такой элемент а, что для всеха ∈ А и b ∈ В выполняется двойное неравенство а ≤ а ≤ b. Тогда получаем скую систему, называемую непрерывным упорядоченным полем. Важнейший пример непрерывного упорядоченного поля — поле действительных чисел.

Заметим, что поле рациональных чисел, являясь упорядоченным псцем, уже не будет непрерывным. Это вытекает из того, что можно построить такие два собственных подмножества А,В ⊂ ℚ, что для всех a ∈ А и для всех b ∈ В будет иметь место а < b, но нельзя найти такое рациональное число г, чтобы выполнялось (∀ a ∈ A)(∀ b ∈ B)(a ≤ r ≤ b). Такими двумя подмножествами А и В в множестве рациональных чисел могут быть, например, В = {q: q² > 2}, А = ℚ\ В. Дело в том, что, как можно убедиться, не существует наибольшего рационального числа в множестве А. В множестве же ℚ наибольшее из всех чисел, квадрат которых не больше 2, существует и равно √2. #

Две алгебраические системы

A₁ = (А₁, Ω₁, П₁) и A₂ = (А₂, Ω₂, П₂)

называют однотипными, если между множествами операций Ω₁ и Ω₂ существует взаимно однозначное соответствие, отображающее Ω⁽ⁿ⁾¹ в Ω⁽ⁿ⁾², n ≥ 0, а между множествами отношений П₁ и П₂ можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором П⁽ⁿ⁾¹ соответствует П⁽ⁿ⁾², n ≥ 0.

Таким образом, для однотипных алгебраических систем A₁ = (А₁, Ω₁, П₁) и A₂ = (А₂, Ω₂, П₂) любой n-арной операции из Ω₁ (любому n-арному отношению из П₁) может быть однозначно сопоставлена n-арная операция из Ω₂ (n-арное отношение из П₂).

Например, алгебраическая система (Z, —, +, ⋅, <) с опе- операциями — (унарный минус — переход к противоположному числу), + (сложения), ⋅ (умножения) и отношением ^ естествен- естественного числового порядка однотипна с алгебраической системой (Q) —, +, ⋅, ^) с теми же операциями, а также с алгебраиче- алгебраической системой Bм, "", U, П, С) (для некоторого множества М) с операциями дополнения, объединения, пересечения множеств и отношением включения. В первом случае операции и отноше- отношения, заданные на разных множествах (целых и рациональных чисел), обозначены одинаковыми символами; во втором случае однотипные алгебраические системы имеют разные обозначе- обозначения операции и отношении.

В то же время две модели (А, ρ) и (B, σ), в которых ρ — n-арное отношение на А, а σ — m-арное отношение на В, при n ≠ m будут однотипными.

Зачастую, если это не вредит точности, соответствующие друг другу операции и отношения однотипных алгебраических систем будем обозначать одинаковыми символами.