Подгруппы и подкольца

Пусть g = (G, *) — произвольный группоид и Н ⊆ G — некоторое подмножество множества G. Рассмотрим свойства бинарной операции * группоида g на подмножестве Н.

Говорят, что множество Н ⊆ G замкнуто относительно операции *, если х*у ⊆ Н для любых x, у ⊆ Н. В этом случае подмножество Н с операцией * будет группоидом H = (H, *). Его называют подгруппоидом группоида g.

Если подмножество Н замкнуто относительно бинарной операции * и эта бинарная операция ассоциативна на множестве G, то легко убедиться, что операция останется ассоциативной и при ее ограничении на подмножество Н. Таким образом, v если группоид g является полугруппой, то и всякий его подгруппоид будет полугруппой, называемой подполугруппой полугруппы g.

Однако в случае, когда группоид является моноидом (группой), уже нельзя утверждать, что любой подгруппоид является также моноидом (группой). Например, в качестве исходного группоида рассмотрим аддитивную группу целых чисел (ℤ , +). Выделим в множестве целых чисел подмножество N натуральных чисел. Поскольку это подмножество замкнуто относительно операциии сложения +, группоид (ℕ, +) будет подгруппоидом группоида (ℤ , +). Так как операция сложения чисел ассоциативна, (ℕ, +) будет подполугруппой. Однако в множестве ℕ отсутствует нейтральный элемент 0 относительно операции сложения. Следовательно, (ℕ,+) даже не моноид.

Пусть M = (М, ⋅, 1) — моноид. Если Р есть подмножество М, замкнутое относительно бинарной операции ⋅ моноида M и содержащее нейтральный элемент (единицу) 1 этого моноида, то P = (Р, ⋅, 1) также есть моноид. Его называют подмоноидом моноида M.

Полагая, по определению, что замкнутость подмножества В ⊆ А относительно нульарной операции а на A равносильна соотношению a ⊆ B, получаем, что моноид P = (Р, ⋅, 1) есть подмоноид моноида М = (М, ⋅, 1) тогда и только тогда, когда множество Р замкнуто относительно бинарной операции ⋅ моноида M, а также относительно его нульарной операции 1.

Пусть g = (G, ⋅, ^-1, 1) — группа, а Н есть подмножество G, замкнутое относительно операции ⋅ группы g, содержащее нейтральный элемент (единицу) 1 этой группы и вместе с каждым элементом х ⊆ Н содержащее элемент x^-1, обратный к x, т.е. замкнутое относительно унарной операции ^-1 взятия обратного, которая здесь включена в сигнатуру группы. Тогда H = (H, ⋅, ^-1, 1) также есть группа, которую называют подгруппой группы g.

Пусть ω — унарная операция на множестве G моноида g, a H — некоторый его подмоноид. Естественно подмоноид Н моноида g назвать замкнутым относительно унарной операции ω, если для каждого х ∈ Н имеет место ω(х) ∈ Н. Тогда группа Н = (H, ⋅, ^-1, 1) есть подгруппа группы g = (G, ⋅, ^-1, 1) в том и только в том случае, когда множество Н замкнуто относительно всех операций ⋅, ^-1, 1 сигнатуры группы g.

Замечание 2.4. Подмножество H⊆G, замкнутое относительно группового умножения ⋅ группы g и содержащее вместе с каждым элементом х обратный к нему элемент x^-1, будет содержать и нейтральный элемент (единицу) группы, поскольку в силу замкнутости Н относительно операции умножения из х ∈ Н и х^-1 ∈ Н следует, что х ⋅ х^-1 = х^-1 ⋅ х = 1 ∈ Н. #

Используя факт единственности нейтрального элемента (единицы) любого моноида и только что сформулированное определение, можно легко доказать, что единица моноида (группы, в частности) служит одновременно единицей любого его моноида (любой подгруппы). Заметим, что подмоноид, носитель которого содержит только единицу исходного моноида (Р = {1}), а также подмоноид, носитель которого совпадает с носителем исходного моноида (Р = М), называют тривиальным подмоноидом (в частности, тривиальной подгруппой). Подмоноид, не являющийся тривиальным, называют нетривиальным подмоноидом (в частности, нетривиальной подгруппой). Подгруппоид (подполугруппу, подмоноид, подгруппу) (G, *) называют собственным подгруппоидом (подполугруппой, подмоноидом, подгруппой) группоида (полугруппы, моноида, группы) (К, *), если его носитель G есть собственное подмножество множества К.

Пример 2.17. Рассмотрим аддитивную полугруппу натуральных чисел вместе с нулем (ℕ₀, +). Подмножество всех положительных четных чисел замкнуто относительно сложения, и поэтому на нем может быть определена подполугруппа полугруппы (ℕ₀, +). Но аддитивная полугруппа натуральных чисел с нулем является также и моноидом с нейтральным элементом 0. Тогда построенная выше подполугруппа всех положительных четных чисел не будет подмоноидом моноида (ℕ₀, +), так как ее носитель не содержит нуля — единицы моноида (ℕ₀, +).

Подмножество всех натуральных чисел вместе с нулем, делящихся на заданное число к > 1, замкнуто относительно операции сложения; на нем может быть определен подмоноид моноида (ℕ₀, +).

Мультипликативная группа поля рациональных чисел, является подгруппой группы (ℝ \ {0}, ⋅, 1) (мультипликативной группы поля действительных чисел). Но алгебра (ℤ\{0},⋅,l) не является подгруппой последней группы. Несмотря на то что множество всех отличных от нуля целых чисел замкнуто относительно операции умножения и содержит единицу, оно не содержит вместе с каждым целым числом m обратного к нему числа 1/m . #

Пусть g = (G, ⋅, -1, 1) — группа. Как следует из теорем 2.5 и 2.6, произведение любых степеней элемента а есть снова некоторая степень элемента а, нулевая степень дает единицу группы, а обратным к элементу а^k является элемент а^-k. Таким образом, множество всех степеней фиксированного элемента а группы g является подгруппой группы g.

Определение 2.7. Подгруппу группы g, заданную на множестве всех степеней фиксированного элемента а, называют циклической подгруппой группы g, порожденной элементом а.

Пример 2.18. В группе ℤ*₁₃ (мультипликативной группе вычетов по модулю 13) построим циклическую подгруппу, порожденную элементом 5. Имеем: 5⁰ = 1, 5¹ = 5, 5² = 5⨀₁₃5 = 12, 5³ = 5 ⨀₁₃ 12 = 8, 5⁴ = 5 ⨀₁₃ 8 = 1. Отсюда следует, что порядок этой циклической подгруппы в силу теоремы 2.7 равен 4. Она состоит из элементов: 1, 5, 8 и 12. #

Рассмотрим кольцо R = (R, +, ⋅, 0, 1). Если множество g есть подмножество множества R, замкнутое относительно операций сложения и умножения кольца R, содержащее нуль и единицу кольца R, а также вместе с каждым х ∈ Q содержащее противоположный к нему элемент -x, то Q = (Q,+,⋅,0,1) также есть кольцо. Его называют подкольцом кольца g.

Другими словами, кольцо Q = (Q, +, ⋅, 0, 1) — это подкольцо кольца R = (R, +, ⋅, 0, 1), если его аддитивная группа есть подгруппа аддитивной группы кольца R, а его мультипликативный моноид — подмоноид мультипликативного моноида кольца R.

Аналогично определяется понятие подполя (какого-либо поля). Единственное по сравнению с определением подкольца дополнительное требование состоит в том, что носитель подполя должен вместе с каждым элементом х содержать обратный к нему по умножению поля элемент х^-1. Это значит, что мультипликативная группа подполя должна быть подгруппой мультипликативной группы всего поля. Естественно, что точно так же обстоит дело и с понятием подтела.

Пример 2.19. Кольцо целых чисел (ℤ, +, ⋅, 0, 1) есть подкольцо кольца действительных чисел (ℝ, +, ⋅, 0, 1). При этом, несмотря на то что кольцо действительных чисел есть поле, кольцо целых чисел не является его подполем, поскольку в последнем для любого целого числа отсутствует обратный к нему по умножению элемент.

Поле рациональных чисел является подполем поля действи- действительных чисел, которое, в свою очередь, есть подполе поля комплексных чисел. Алгебра (ℕ₀, +, ⋅, 0, 1) на множестве натуральных чисел вместе с нулем не является подкольцом ни одного из перечисленных выше колец, так как ее носитель не содержит ни обратных относительно сложения, ни обратных относительно умножения элементов.