Кольца, тела, поля

Теория

Определение 2.5. Кольцом называют алгебру 

R = (R, +, ⋅,0, 1),

сигнатура которой состоит из двух бинарных и двух нульарных операций, причем для любых a, b, c ∈ R выполняются равенства:

  1. a+(b+c) = (a+b)+c;
  2. a+b = b+a;
  3. а + 0 = a;
  4. для каждого а ∈ R существует элемент а', такой, что a+a' = 0
  5. а-(b-с) = (а-b)-с;
  6. а ⋅ 1 = 1 ⋅ а = а;
  7. а⋅(b + с) =а⋅b + а⋅с, (b + с) ⋅ а = b⋅ а + с⋅а.

Операцию + называют сложением кольца, операцию умножением кольца, элемент 0 - нулем кольца, элемент 1 - единицей кольца.

Равенства 1-7, указанные в определении, называют аксиомами кольца. Рассмотрим эти равенства с точки зрения понятия группы и моноида.

Аксиомы кольца 1-4 означают, что алгебра (R, +, 0), сигнатура которой состоит только из операций сложения кольца + и нуля кольца 0, является абелевой группой. Эту группу называют аддитивной группой кольца R и говорят также, что по сложению кольцо есть коммутативная (абелева) группа.

Аксиомы кольца 5 и 6 показывают, что алгебра (R, ⋅, 1), сигнатура которой включает только умножение кольца ⋅ и еди- единицу кольца 1, есть моноид. Этот моноид называют мультипликативным моноидом кольца R и говорят, что по умножению кольцо есть моноид.

Связь между сложением кольца и умножением кольца устанавливает аксиома 7, согласно которой операция умножения дистрибутивна относительно операции сложения.

Учитывая сказанное выше, отметим, что кольцо — это алгебра с двумя бинарными и двумя нульарными операциями R=(R, +, ⋅,0, 1), такая, что:

  1. алгебра (R, +, 0) — коммутативная группа;
  2. алгебра (R, ⋅, 1) — моноид;
  3. операция ⋅ (умножения кольца) дистрибутивна относительно операции + (сложения кольца).

Замечание 2.2. В литературе встречается иной состав аксиом кольца, относящихся к умножению. Так, могут отсут- отсутствовать аксиома 6 (в кольце нет 1) и аксиома 5 (умножение не ассоциативно). В этом случае выделяют ассоциативные коль- кольца (к аксиомам кольца добавляют требование ассоциативности умножения) и кольца с единицей. В последнем случае добавля- добавляются требования ассоциативности умножения и существования единицы.

Определение 2.6. Кольцо называют коммутативным, если его операция умножения коммутативна.

Пример 2.12. а. Алгебра (ℤ, +, ⋅, 0, 1) есть коммутативное кольцо. Отметим, что алгебра (ℕ0, +, ⋅, 0, 1) кольцом не будет, поскольку (ℕ0, +) — коммутативный моноид, но не группа.

б. Рассмотрим алгебру ℤk = ({0,1,..., k - 1}, ⊕k, ⨀k, 0,1) (к>1) с операцией ⊕k сложения по модулю л и ⨀k (умножения по модулю л). Последняя аналогична операции сложения по модулю л: m ⨀kn равно остатку от деления на k числа m ⋅ n. Эта алгебра есть коммутативное кольцо, которое называют кольцом вычетов по модулю k.

в. Алгебра (2A, Δ, ∩, ∅, А) — коммутативное кольцо, что следует из свойств пересечения и симметрической разности множеств.

г. Пример некоммутативного кольца дает множество всех квадратных матриц фиксированного порядка с операциями сложения и умножения матриц. Единицей этого кольца является единичная матрица, а нулем — нулевая.

 д. Пусть L — линейное пространство. Рассмотрим множество всех линейных операторов, действующих в этом пространстве.

Напомним, что суммой двух линейных операторов А и В называют оператор А + В, такой, что (А + В) х = Ах + Вх, х ∈ L.

 Произведением линейных операторов А и В называют линей- линейный оператор АВ, такой, что (АВ)х = А(Вх) для любого х ∈ L.

Используя свойства указанных операций над линейными операторами, можно показать, что множество всех линейных операторов, действующих в пространстве L, вместе с операциями сложения и умножения операторов образует кольцо. Нулем этого кольца служит нулевой оператор, а единицей — тождественный оператор.

Это кольцо называют кольцом линейных операторов в линейном пространстве L. #

Аксиомы кольца называют также основными тождествами кольца. Тождество кольца — это равенство, ливость которого сохраняется при подстановке вместо фигурирующих в нем переменных любых элементов кольца. Основные тождества постулируются, и из них затем могут быть выведе- выведены как следствия другие тождества. Рассмотрим некоторые из них.

Напомним, что аддитивная группа кольца коммутативна и в ней определена операция вычитания.

Теорема 2.8. В любом кольце выполняются следующие тождества:

  1. 0 ⋅ а = a ⋅ 0 = 0;
  2. (-a) ⋅ b = -(a ⋅ b) = a ⋅ (-b);
  3. (a-b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c, c ⋅ (a-b) = c ⋅ a - c ⋅ b.

◀Докажем тождество 0 ⋅ а = 0. Запишем для произвольного а:

a+0 ⋅ a = 1 ⋅ a + 0 ⋅ a = (1+0) ⋅ a = 1 ⋅ a = a

Итак, а + 0 ⋅ а = а. Последнее равенство можно рассматривать как уравнение в аддитивной группе кольца относительно неизвестного элемента 0 ⋅ а. Так как в аддитивной группе любое уравнение вида а + х = b имеет единственное решение х=b - а, то 0 ⋅ а = а - а = 0. Тождество а⋅ 0 = 0 доказывается аналогично.

Докажем теперь тождество — (a ⋅ b) = a ⋅ (-b). Имеем

a ⋅ (-b)+a ⋅ b = a ⋅ ((-b) + b) = a ⋅ 0 = 0,

откуда а ⋅ (-b) = -(а ⋅ b). Точно так же можно доказать, что (-a) ⋅ b = -(a ⋅ b).

Докажем третью пару тождеств. Рассмотрим первое из них. С учетом доказанного выше имеем

а ⋅ (b - с) = a ⋅ (b+(-c)) = a ⋅ b + a ⋅ (-c) =a ⋅ b - a ⋅ c,

т.е. тождество справедливо. Второе тождество этой пары доказывается аналогично. ▶

Следствие 2.1. В любом кольце справедливо тождество (-1) ⋅ х = x ⋅ (-1) = -x.

◀Указанное следствие вытекает из второго тождества теоремы 2.8 при a = 1 и b = x.▶

Первые два тождества из доказанных в теореме 2.8 выражают свойство, называемое аннулирующим свойством нуля в кольце. Третья же пара тождеств указанной теоремы выражает свойство дистрибутивности операции умножения кольца относительно операции вычитания. Таким образом, производя вычисления в любом кольце, можно раскрывать скобки и менять знаки так же, как и при сложении, вычитании и умножении действительных чисел.

Ненулевые элементы а и b кольца R называют делителями нуля, если а ⋅ b = 0 или b ⋅ а = 0. Пример кольца с делителем нуля дает любое кольцо вычетов по модулю k, если k — составное число. В этом случае произведение по модулю k любых тип, дающих при обычном перемножении число, кратное k, будет равно нулю. Например, в кольце вычетов по модулю 6 элементы 2 и 3 являются делителями нуля, поскольку 2 ⨀6 3 = 0. Другой пример дает кольцо квадратных матриц фиксированного порядка (не меньшего двух). Например, для матриц второго порядка имеем

При отличных от нуля а и b приведенные матрицы являются делителями нуля.

По умножению кольцо является только моноидом. Поставим вопрос: в каких случаях кольцо по умножению будет группой? Прежде всего заметим, что множество всех элементов кольца, в котором 0 ≠ 1, не может образовывать группы по умножению, так как нуль не может иметь обратного. Действительно, если предположить, что такой элемент 0' существует, то, с одной стороны, 0 ⋅ 0' = 0' ⋅ 0 = 1, а с другой — 0 ⋅ 0' = 0' ⋅ 0 = 0, откуда 0 = 1. Это противоречит условию 0 ≠ 1. Таким образом, поставленный выше вопрос можно уточнить так: в каких случаях множество всех ненулевых элементов кольца образует группу по умножению?

Если в кольце имеются делители нуля, то подмножество всех ненулевых элементов кольца не образует группы по умножению уже хотя бы потому, что это подмножество не замкнуто относительно операции умножения, т.е. существуют ненулевые элементы, произведение которых равно нулю.

Кольцо, в котором множество всех ненулевых элементов по умножению образует группу, называют телом, коммутативное тело — полем, а группу ненулевых элементов тела (поля) по умножению — мультипликативной группой этого тела (поля). Согласно определению, поле есть частный случай кольца, в котором операции обладают дополнительными свойствами. Выпишем все свойства, выполнение которых требуется для операций поля. Их еще называют аксиомами поля.

Поле есть алгебра F = (F, +, ⋅, 0, 1), сигнатура которой состоит из двух бинарных и двух нульарных операций, причем справедливы тождества:

  1. a+(b+c) = (a+b)+c;
  2. a+b = b+a;
  3. a+0 = a;
  4. для каждого а ∈ F существует элемент -а, такой, что a+ (-a) = 0;
  5. a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c;
  6. a ⋅ b = b ⋅ a
  7. a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a
  8. для каждого а ∈ F, отличного от 0, существует элемент а-1, такой, что а ⋅ а-1 = 1;
  9. a ⋅ (b+c) = a ⋅ b + a ⋅ c.

Пример 2.13. а. Алгебра (ℚ, +, ⋅, 0, 1) есть поле, называемое полем рациональных чисел.

б. Алгебры (ℝ , +, ⋅, 0, 1) и (ℂ, +, ⋅, 0, 1) есть поля, называемые полями действительных и комплексных чисел соответственно.

в. Примером тела, не являющегося полем, может служить алгебра кватернионов. #

Итак, мы видим, что известным законам сложения и умножения чисел соответствуют аксиомы поля. Занимаясь числовыми расчетами, мы „работаем в полях", а именно имеем дело преимущественно с полями рациональных и вещественных чисел, иногда „переселяемся" в поле комплексных чисел.