Конгруэнции и фактор-системы

В этой главе нам будет удобно использовать "бесскобочную" запись для обозначения результата применения n-арной операции ω к элементам a₁, ..., a_n и писать a₁, ..., a_nω вместо ωa₁, ..., a_n.

Отношение эквивалентности р на носителе алгебраической системы A называют конгруэнцией на алгебраической системе ЛA, если выполняются условия:

1) для любой n-арной (n ≥ 1) операции ω и любых элементов a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_n ∈ A из того, что a_iρb_i для каждого i = 1,n, следует (a₁... a_nω) ρ (b₁ ... b_nω);

2) для любого n-арного (n ≥ 1) отношения π и для любых элементов a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_n, ∈ А из того, что a_iρb_i для каждого i = 1,n и (a₁, ..., a_n) ∈ π, следует (b₁, ..., b_n) ∈ π.

Первое условие означает, что результаты применения любой операции из Ω к попарно эквивалентным аргументам должны быть эквивалентными, а второе — что любое отношение из П содержит или не содержит кортеж (b₁, ..., b_n) независимо от того, какие именно элементы b_i выбираются в соответствующем классе эквивалентности по отношению ρ.

Пример 4.4. а. Рассмотрим (ℝ, +, ⋅, 0, 1) — поле действительных чисел.

Докажем, что отношение равенства по модулю 1 (см. пример 1.14) не является конгруэнцией на этом поле, но является конгруэнцией на (ℝ, +, 0) — его аддитивной группе, т.е. на аддитивной группе действительных чисел.

Докажем сначала второе утверждение.

Пусть а = b (mod 1) и с = d (mod 1). Тогда числа а - b и с - d являются целыми. Следовательно, и их сумма

(a - b) + (c - d) = (a + c) - (b + d) -

тоже целое число, т.е. a + c = b + d (mod 1). Это и означает, что отношение равенства по модулю 1 является конгруэнцией на аддитивной группе действительных чисел.

Пусть, как и выше, а = b (mod 1) и с = d (mod 1). Если бы (для любых а, и, с, d) отсюда следовало, что a ⋅ c = b ⋅ d (mod 1), то тогда дробная часть а ⋅ с всегда совпадала бы с дробной частью и ⋅ d. Но каждое число равно по модулю 1 своей дробной части. Следовательно, тогда дробная часть произведения любых двух чисел должна была бы равняться произведению дробных частей этих чисел. Простой пример, приведенный ниже, показывает, что это не так.

При b = а = 1,1 имеем а = 0,1 (mod 1), b = 0,1 (mod 1) и 0,1² = = 0,01. Так как аb = 1,1² = 1,21, то аb = 0,21 (mod1). Это и означает, что равенство по модулю 1 не есть конгруэнция на поле действительных чисел (ℝ, +, ⋅, 0, 1).

б. Пусть (ℤ , +, ⋅, 0, 1) — кольцо целых чисел. Отношение равенства по модулю k, введенное в разд. 2.3, будет конгруэнцией на данном кольце.

Действительно, пусть m ≡ n (mod k) и r ≡ s (mod k). Тогда существуют такие целые числа l₁ и l₂, что

m-n = l₁ ⋅ k, r - s = l₂ ⋅ k.     (4.1)

Складывая уравнения системы (4.1), получаем

m + r - (n + s) = (l₁ + l₂) k,

т.е. m + r ≡ n + s (mod k). Умножая первое уравнение системы (4.1) на r, второе — на n и складывая результаты, получаем

mr - ns = (l₁r + l₂s) k, т.е. mr ≡ ns (mod k), что и доказывает сформулированное выше утверждение.

в. Рассмотрим алгебраическую систему (ℤ, +, ⋅, 0, 1, ≤), образованную из кольца целых чисел добавлением отношения ≤ (естественного числового порядка). Тогда равенство по модулю к уже не будет конгруэнцией на данной алгебраической системе. Действительно, если, скажем, а и b при делении на k дают один и тот же остаток l, а с и d — один и тот же остаток р, то из а ≤ с не следует, вообще говоря, что b ≤ d. Например, 5 = 17 (mod4), б = 10 (mod4), 5 ≤ 6, но 17 > 10. Таким образом, отношение равенства целых чисел по модулю к не „сохраняет" отношения ≤, т.е. справедливость неравенства а ≤ b зависит от того, какие элементы а и b в соответствующих классах эквивалентности выбраны.

г. Пусть в линейном пространстве L фиксировано линейное подпространство V. Рассмотрим L как модуль над полем действительных чисел (ℝ, +, ⋅, 0, 1). На множестве векторов L зададим отношение ~_V так: а ~_V b ⇔ a - b ∈ V. Нетрудно показать, что это отношение экивалентности. Далее, если а ~_V b и c~_Vd, то а + с - (b+d) = (a - b) + (c - d) ∈ V, поскольку каждое слагаемое в последней сумме есть вектор из подпространства V. Для произвольного действительного а из а ~_V b следует, что αа ~_V αb, так как αа — αb = α(а — b) ∈ V. Таким образом, введенное отношение есть конгруэнция на линейном пространстве L.

Напомним, что множество векторов линейного пространства по сложению есть абелева группа. Следовательно, рассмотренное отношение эквавалентности ~_V есть конгруэнция на этой группе. Покажем, что указанную конгруэнцию можно распространить на произвольную абелеву группу. Пусть g = = (G, +, 0) — некоторая абелева группа, а Н = (H, +, 0) — произвольная подгруппа группы g. Зададим отношение ~_H так: а~_Hb ⇔ a - b ∈ H. Рассуждая так же, как и в случае множества векторов линейного пространства, можно показать, что отношение ~_H является конгруэнцией.

д. Пусть A = (А, ≤) и В = (В, ⪯) — упорядоченные множества. Зададим отображение f: А → В так, чтобы оно было монотонно, т.е. чтобы для любых а, b ∈ А из а ≤ b следовало f (а) ⪯ f (b). Введем отношение эквивалентности ~_f на А (см. 1.7), положив a~_fb ⇔ f(a) = f(b). Выясним, будет ли это отношение конгруэнцией на модели A = (А, ≤).

Пусть а₁ ~_f b₁, а₂ ~_f b₂ и а₁ ≤ а₂. Тогда в силу монотонности отображения f имеем f(а₁) ⪯ f(а₂), а так как f(а₁) = f(b₁) и f(а₂) = f(b₂), то и f(b₁) ⪯ f(b₂). Отсюда, однако, нельзя в общем случае сделать вывод, что b₁ ≤ b₂. На рис. 4.1 f (2) ⪯ f(4), но элементы 2 и 4 не сравнимы. Данное отображение (как нетрудно понять, монотонное) не будет конгруэнцией хотя бы потому, что 1 ~_f 2, но 1 ≤ 4, а 2 и 4 не сравнимы.

Если же отображение f таково, что а ≤ b ⇔ f(a) ⪯ f(b), то ~_f будет конгруэнцией. Например, если на диаграмме Хассе для множества A на рис. 4.1 добавить „ребро", соединяющее элемент 2 с элементом 4 (см. штриховую линию), т.е. считать, что 2 < 4, то можно будет получить конгруэнцию ~_f на множестве А. #

Согласно определению конгруэнции, на алгебраической системе A классы эквивалентности [a₁]_ρ, ..., [a_n]_ρ вместе с любой n-арной (n ≥ 1) операцией ω однозначно определяют класс эквивалентности элемента [а₁ ... а_nω]ρ. Другими словами, для любых элементов х₁ ∈ [a₁]ρ, ..., х_n ∈ [a_n]ρ класс эквивалентности элемента х₁... х_nω зависит только от классов эквивалентности элементов х_i, i = 1,n, но не зависит от выбора элемента в классе.

Таким образом, мы можем „перенести" операцию ω на классы эквивалентности, положив

[a₁]_ρ ... [a_n]_ρω = [а₁ ... a_nω].

Аналогично для любого n-арного (п ≥ 1) отношения, по определению, полагаем (для любого п ≥ 1, любого π ∈ П⁽ⁿ⁾ и любых a₁, ..., a_n)

([a₁]₁]ρ, ..., [а_n]ρ) ∈ π ⇔ (a₁ ..., a_n) ∈ π,

поскольку, согласно определению конгруэнтности, для любых x₁ ∈ [a₁]_ρ, ..., х_n ∈ [a_n]_ρ условие (х₁, ..., х_n) ∈ π зависит лишь от классов эквивалентности элементов х_ii = 1,n.

Заметим, что в этом случае мы использовали одинаковые символы (ω и π ) для соответствующих операций и отношения на разных множествах, опираясь на соглашение о сигнатурах однотипных алгебраических систем.

Итак, операции и отношения исходной сигнатуры можно перенести на множество классов эквивалентности по конгруэнции р согласно приведенным выше формулам. Получаемая при этом алгебраическая система (однотипная с исходной) имеет в качестве носителя фактор-множество А/ρ. Ее называют фактор-системой алгебраической системы А по конгруэнции ρ и обозначают A/ρ. В том случае, когда исходная алгебраическая система A является алгеброй (моделью), ее фактор-систему A/ρ называют фактор-алгеброй (фактор-моделью соответственно).

Пример 4.5. Вернемся к примеру 4.4.а. Конгруэнция, определенная в этом примере, — не что иное, как отношение ~_ℤ (напомним, что для действительных чисел x, у х~_ℤ у ⇔ x - y ∈ ℤ). Следовательно, фактор-алгебра (ℝ, +, 0) аддитивной группы целых чисел по конгруэнции равенства по модулю 1 — это фактор-группа ℝ/ℤ аддитивной группы действительных чисел по нормальному делителю ℤ, т.е. по подгруппе целых чисел. #

Пример 4.5 есть проявление общей связи между понятиями конгруэнции и нормального делителя группы. Рассмотрим этот вопрос подробно.

Пусть g = (G, ⋅, 1) — группа, а H = (H, ⋅, 1) — ее подгруппа, являющаяся нормальным делителем. Отношение ~_H определенное на носителе G исходной группы так, что

а~_Hb ⇔ aH = bH,

есть, согласно теореме 2.11, эквивалентность. Докажем, что ~_H является конгруэнцией. Для этого достаточно доказать, что для любых а, b, с, d ∈ G из а~_Hс и b~_Hd следует ab~_Hcd.

Имеем а~_Hс, и это означает, что аН = сН. Точно так же bН = dH в силу b~_Hd. Так как Н — нормальный делитель, то аbН = аНbН. Далее, аНbН = cHdH, и, снова используя свойство нормального делителя, получаем cHdH = cdH, откуда abH = cdH

Фактор-алгебра группы g по конгруэнции ~_H совпадает (подчеркнем — не просто изоморфна, а именно совпадает) с фактор-группой группы g по нормальному делителю Н.

Ниже показано, что и, наоборот, фактор-алгебра любой группы по произвольной конгруэнции есть ее факторгруппа по некоторому нормальному делителю. Мы продолжим обсуждение идеи фактор-системы и поймем ее глубже, когда свяжем понятие фактор-системы с общим понятием гомоморфизма, знакомого нам пока только по частным случаям гомоморфизмов групп и колец.