Вопросы и задачи

3.1. Проверив аксиомы, убедиться, что алгебры, приведенные в примере 3.3, являются полукольцами.

3.2. Выяснить, является ли алгебра ([0,1], шах, ⋅) полукольцом.

3.3. В полукольце S_[0,1] (см. пример З.З.г) решить систему линейных уравнений

3.4. Привести примеры замкнутых полуколец из 4, 8 и 16 элементов.

У к а з а н и е: рассмотреть алгебру (2^M, ∪, ∩, ∅, М), где множество М конечно.

3.5. Доказать теорему 3.9.

3.6. Описать одноэлементную булеву алгебру. Доказать, что булева алгебра одноэлементна тогда и только тогда, когда в ней 0 = 1.

3.7. Доказать, что полукольцо D_m является булевой алгеброй тогда и только тогда, когда m есть произведение попарно различных простых чисел.

3.8. Пусть В = (В, ∨, ∧,   , 0, 1) — булева алгебра. Определим на носителе В операции ⊕ и ⋅ так:

x⊕y=(x∧y)∨(x∧y), x⋅y=x∧y.

Доказать, что R_B = (B, ⊕, ⋅, 0, 1) — булево кольцо. Доказать, что R_B = ℤ₂

3.9. Пусть R _{= (R, ⊕, ⋅, 0, 1) — булево кольцо (см. задачу 2.12). Определим на его носителе R операции ∨, ∧,    так:}

x∨y=x⊕y⊕xy, x∧y=x⋅y, x=x⊕1.

Доказать, что В_R. = (R, ∨, ∧,   , 0, 1) — булева алгебра. Показать, что В_ℤ2 = В.

3.10. Показать, что для любых булевой алгебры В и булева кольца R (см. задачу 2.12) R_BR = R и B_RB = В.

3.11. На носителе произвольного (т.е. не обязательно идемпотентного) полукольца S = (S, +, ⋅, 0, 1) определим бинарное отношение ⪯ так, что х ⪯ у ⇔ (∃z)(y = х + z). Является ли это бинарное отношение порядком или предпорядком? Как интерпретируется это отношение для кольца?

3.12. Пусть полукольцо S = (S, +, ⋅, 0, 1) таково, что в его аддитивном моноиде справедлив закон сокращения, т.е. для любых x, у, a ∈ S из равенства x + а = у + а следует равенство х = у, а также для любых а, b ∈ S из того, что а + b = 0, следует а = b = 0. Доказать, что тогда бинарное отношение ⪯, введенное в задаче 3.11, является порядком. Привести пример такого полукольца. При каких условиях полукольцо с такими свойствами будет идемпотентным?

3.13. Доказать, что в полукольце бинарных отношений на n-элементном множестве итерация любого бинарного отношения равна сумме всех его степеней, начиная с нулевой и кончая n-й, т.е. Доказать, что аналогичное свойство справедливо для полукольца квадратных матриц над полукольцом В.

3.14. Доказать подробно, что метод последовательного исключения неизвестных при решении систем линейных уравнений в замкнутых полукольцах (или в полукольцах с итерацией) действительно дает наименьшее решение системы. У к а з а н и е: воспользоваться методом математической индукции и доказать, что на каждом шаге прямого хода метода Гаусса мы получаем очередную компоненту наименьшего решения; при этом использовать непрерывность (и, следовательно, монотонность) операций сложения и умножения.

3.15. Доказать, что идемпотентность решеточных операций вытекает из тождеств поглощения.

3.16. Доказать, что алгебра (А, ∨, ∧) является решеткой тогда и только тогда, когда (А, ∨) и (А, ∧) — полурешетки, и равенство a = a∧b равносильно равенству b = a∨b.

3.17. Пусть алгебры (А, ∧, ∨₁) и (А, ∧, ∨₂) (с одним и тем же носителем) являются решетками. Доказать, что тогда операции ∨₁ и ∨₂ совпадают.

3.18. Нарисовать диаграммы Хассе всех решеток, состоящих не более чем из шести элементов.